Проекции точки, прямой и плоскости: эпюр Монжа

Метод двух и трёх проекций, комплексный чертёж, положение прямых и плоскостей относительно плоскостей проекций, определение натуральной величины, аксонометрия.

Начертательная геометрия учит восстанавливать объёмную фигуру по плоским изображениям. Основа — метод Монжа: предмет проецируют на взаимно перпендикулярные плоскости, после чего разворачивают их в одну.

Плоскости проекций

Точка задаётся тремя координатами A(x, y, z)

После разворота плоскостей в одну:
  A₁ и A₂ лежат на одной вертикальной линии связи
  A₂ и A₃ — на одной горизонтальной

Две проекции полностью определяют точку в пространстве;
третья строится по ним и служит для наглядности.

Положение прямой

Натуральная величина отрезка

Метод прямоугольного треугольника:

  1. Взять одну проекцию отрезка как катет
  2. Отложить перпендикулярно разность недостающих координат
  3. Гипотенуза — натуральная величина

  |AB| = √( (Δx)² + (Δy)² + (Δz)² )

Угол между гипотенузой и проекцией — угол наклона прямой
к соответствующей плоскости проекций.

Взаимное положение прямых

• Параллельные: одноимённые проекции параллельны на всех плоскостях.
• Пересекающиеся: точки пересечения проекций лежат на одной линии связи.
• Скрещивающиеся: проекции пересекаются, но точки пересечения на линии связи не совпадают — это конкурирующие точки.
• По конкурирующим точкам определяют видимость: выше или ближе к наблюдателю та, у которой соответствующая координата больше.

Задание плоскости

1. Тремя точками, не лежащими на одной прямой.
2. Прямой и точкой вне её.
3. Двумя пересекающимися или двумя параллельными прямыми.
4. Плоской фигурой — треугольником, кругом.
5. Следами — линиями пересечения с плоскостями проекций.

Способы преобразования чертежа

• Замена плоскостей проекций: фигура остаётся на месте, вводят новую плоскость, параллельную или перпендикулярную нужному элементу. Самый распространённый способ.
• Вращение вокруг проецирующей оси: фигуру поворачивают до удобного положения.
• Плоскопараллельное перемещение: фигура смещается параллельно плоскости проекций без изменения формы одной из проекций.

Типовые задачи, решаемые преобразованием: натуральная величина плоской фигуры, расстояние от точки до плоскости, угол между плоскостями, кратчайшее расстояние между скрещивающимися прямыми.

Аксонометрия

В изометрии окружность изображается эллипсом: большая ось 1,22·d, малая 0,71·d при приведённых коэффициентах. Большая ось всегда перпендикулярна той координатной оси, которая отсутствует в плоскости окружности.

Частые ошибки

• Нарушены линии связи между проекциями.
• Невидимые линии показаны сплошными вместо штриховых.
• Натуральная величина взята прямо с проекции для прямой общего положения.
• При замене плоскостей новая ось проведена не параллельно и не перпендикулярно нужному элементу — преобразование теряет смысл.
• В изометрии эллипс построен с большой осью вдоль неверного направления.