Передаточная функция и устойчивость системы

Как получить передаточную функцию, соединения звеньев, критерии устойчивости Гурвица, Михайлова и Найквиста, запасы устойчивости и настройка ПИД.

Передаточная функция — отношение изображения выходного сигнала к изображению входного по Лапласу при нулевых начальных условиях. Она полностью описывает линейное звено и позволяет заменить дифференциальные уравнения алгеброй.

W(p) = Y(p) / X(p)

Пример: апериодическое звено первого порядка
T·y' + y = k·x   →   W(p) = k / (T·p + 1)

Типовые звенья

Соединения звеньев

Последовательное:  W = W₁ · W₂ · … · Wₙ
Параллельное:      W = W₁ + W₂ + … + Wₙ
С обратной связью: W = W_прям / (1 ± W_прям·W_ос)

Знак «+» — отрицательная обратная связь, «−» — положительная

Устойчивость: суть

Система устойчива, если все корни характеристического уравнения (знаменатель замкнутой передаточной функции, приравненный нулю) лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости. Проверять корни напрямую неудобно, поэтому используют критерии.

Критерий Гурвица

Алгебраический критерий: по коэффициентам характеристического уравнения a₀p^n + a₁p^(n−1) + … + aₙ = 0 строят матрицу и проверяют определители.

1. Необходимое условие: все коэффициенты положительны. Если хотя бы один отрицателен или равен нулю — система неустойчива, дальше можно не считать.
2. Достаточное условие: все главные диагональные миноры матрицы Гурвица положительны.
3. Для системы 3-го порядка условие сводится к простому: a₁·a₂ > a₀·a₃.

Критерий Михайлова

Подставляют p = jω в характеристический полином и строят годограф при изменении ω от 0 до ∞. Система устойчива, если годограф начинается на положительной вещественной полуоси и последовательно, против часовой стрелки, проходит n квадрантов, где n — порядок системы.

Критерий Найквиста

Самый практичный: судит об устойчивости замкнутой системы по АФЧХ разомкнутой. Если разомкнутая система устойчива, то замкнутая устойчива тогда, когда годограф разомкнутой системы не охватывает точку (−1; j0).

Запасы устойчивости:
по амплитуде  ΔL = −20·lg|W(jω_π)|,  где arg W = −180°   — рекомендуется 6-12 дБ
по фазе       Δφ = 180° + arg W(jω_ср), где |W| = 1        — рекомендуется 30-60°

Настройка ПИД-регулятора

W_рег(p) = K_п · ( 1 + 1/(T_и·p) + T_д·p )

П  — быстро реагирует, но оставляет статическую ошибку
И  — убирает статическую ошибку, замедляет и снижает запас устойчивости
Д  — гасит колебания, но усиливает шум измерения

Классический метод Циглера-Никольса: увеличивают K_п до появления незатухающих колебаний, фиксируют критический коэффициент K_кр и период колебаний T_кр, затем берут K_п = 0,6·K_кр, T_и = 0,5·T_кр, T_д = 0,125·T_кр.

Показатели качества переходного процесса

• Перерегулирование σ = (h_max − h_уст)/h_уст · 100%, приемлемо 10-30%.
• Время регулирования — момент, после которого отклонение не выходит за ±5% от установившегося значения.
• Статическая ошибка — разница между заданием и установившимся значением.
• Число колебаний за время регулирования: обычно требуют не более 2-3.