Погрешности измерений и обработка результатов
Абсолютная и относительная погрешность, систематическая и случайная составляющие, класс точности, обработка ряда измерений и косвенные измерения.
Любое измерение даёт не истинное значение, а оценку с погрешностью. Задача метрологии — эту погрешность посчитать и корректно записать результат.
Абсолютная и относительная погрешность
Абсолютная: Δ = x_изм − x_ист (в единицах измеряемой величины) Относительная: δ = (Δ / x_изм) · 100% (в процентах) Приведённая: γ = (Δ / x_норм) · 100% (к диапазону прибора)
Классификация по причине
| Тип | Природа | Как бороться |
|---|---|---|
| Систематическая | Постоянна или меняется закономерно: смещение нуля, неверная градуировка | Поверка, введение поправки |
| Случайная | Меняется непредсказуемо от опыта к опыту | Многократные измерения и усреднение |
| Грубая (промах) | Резко отличающийся результат: сбой, ошибка оператора | Выявить и исключить по критерию |
| Методическая | Несовершенство метода: влияние прибора на объект | Учесть расчётом или сменить метод |
Класс точности прибора
Класс точности — это нормированная приведённая погрешность в процентах. Прибор класса 1,5 с пределом 100 В даёт абсолютную погрешность 1,5 В на любой точке шкалы.
Δ = γ_класс · x_норм / 100 Отсюда важный вывод: δ = Δ/x · 100% — относительная погрешность растёт при уменьшении показания
Практическое правило: измеряйте в верхней трети шкалы. На пределе 100 В при показании 10 В относительная погрешность составит уже 15%, а не 1,5%.
Обработка ряда прямых измерений
- Вычислить среднее арифметическое: x̄ = (Σxᵢ)/n.
- Найти среднеквадратичное отклонение единичного измерения: S = √( Σ(xᵢ − x̄)² / (n−1) ).
- Проверить наличие промахов: результат, отличающийся от среднего более чем на 3S, отбрасывают и пересчитывают.
- Найти СКО среднего: S_x̄ = S / √n.
- Задать доверительную вероятность (обычно 0,95) и взять коэффициент Стьюдента t по числу измерений.
- Границы случайной погрешности: ε = t · S_x̄.
- Сложить со систематической составляющей прибора и записать результат.
Итоговая запись: x = x̄ ± Δ, P = 0,95 Пример: R = (150,4 ± 0,8) Ом, P = 0,95
Косвенные измерения
Когда величина вычисляется через другие, погрешности складываются по правилу переноса.
Для y = f(x₁, x₂, …): Δy = √( Σ (∂f/∂xᵢ · Δxᵢ)² ) Частные случаи: y = a·b или a/b → δy = √(δa² + δb²) — складываются относительные y = a ± b → Δy = √(Δa² + Δb²) — складываются абсолютные y = aⁿ → δy = n · δa
Из последней формулы следует: величина, возводимая в степень, вносит наибольший вклад. При расчёте объёма шара по диаметру погрешность диаметра утраивается.
Правила округления
- Погрешность округляют до одной значащей цифры; до двух — если первая цифра 1 или 2.
- Результат округляют до того же разряда, что и погрешность.
- Неверно: 150,4382 ± 0,8. Верно: 150,4 ± 0,8.
- В промежуточных вычислениях держат один-два запасных знака, округляют только итог.
Частые вопросы
Сколько измерений достаточно?
Для учебных работ обычно 5-10. Точность растёт как √n, поэтому переход с 10 на 20 измерений улучшает результат лишь в 1,4 раза — часто дешевле взять прибор точнее.
Что делать, если результат сильно выбивается?
Проверить по критерию 3S или критерию Романовского. Если это промах — исключить и указать в отчёте. Просто так выбрасывать неудобные точки нельзя.