Кинематика точки: три способа задания движения
Задание движения точки, скорость и ускорение в разных системах, касательное и нормальное ускорение, радиус кривизны траектории.
Координатный способ
Движение задано уравнениями x = x(t), y = y(t). Уравнение траектории получают, исключив время из этих уравнений.
Скорость: v_x = dx/dt, v_y = dy/dt, v = √(v_x² + v_y²) Ускорение: a_x = d²x/dt², a_y = d²y/dt², a = √(a_x² + a_y²) Направляющие косинусы: cos(v, x) = v_x/v
Естественный способ
Задана траектория и закон движения по ней s = s(t). Ускорение раскладывается на две составляющие — и это ключевая идея всей темы.
v = ds/dt Касательное ускорение: a_τ = dv/dt — меняет величину скорости Нормальное ускорение: a_n = v²/ρ — меняет направление скорости Полное ускорение: a = √(a_τ² + a_n²) ρ — радиус кривизны траектории
| Ситуация | Что происходит |
|---|---|
| a_τ > 0 | Движение ускоренное (знаки v и a_τ совпадают) |
| a_τ < 0 | Движение замедленное |
| a_τ = 0 | Равномерное движение по траектории |
| a_n = 0 | Прямолинейное движение (ρ = ∞) |
| a_n = 0 и a_τ = 0 | Равномерное прямолинейное движение |
Связь способов: нахождение радиуса кривизны
Типовая задача: движение задано координатно, требуется найти радиус кривизны траектории в заданный момент. Схема решения всегда одна.
- Найти v_x, v_y и модуль скорости v.
- Найти a_x, a_y и модуль полного ускорения a.
- Найти касательное ускорение как производную модуля скорости: a_τ = dv/dt, либо через проекцию a_τ = (v_x·a_x + v_y·a_y)/v.
- Найти нормальное: a_n = √(a² − a_τ²).
- Выразить радиус кривизны: ρ = v² / a_n.
Вращательное движение твёрдого тела
Угловая скорость: ω = dφ/dt Угловое ускорение: ε = dω/dt Для точки на расстоянии R от оси: v = ω·R a_τ = ε·R a_n = ω²·R Перевод оборотов: ω = π·n/30, где n — об/мин
Плоскопараллельное движение
Скорость любой точки складывается из скорости полюса и скорости вращения вокруг полюса: v_B = v_A + v_BA, где v_BA = ω·AB и направлена перпендикулярно AB. Практичнее использовать мгновенный центр скоростей (МЦС) — точку, скорость которой в данный момент равна нулю.
- МЦС лежит на пересечении перпендикуляров к векторам скоростей двух точек.
- Если тело катится без скольжения, МЦС — точка контакта с поверхностью.
- Найдя МЦС: ω = v_A / (расстояние от A до МЦС), далее скорость любой точки = ω · расстояние до МЦС.
- Если скорости двух точек параллельны и перпендикуляры совпадают, МЦС находят по подобию треугольников.
Частые вопросы
Как найти момент остановки точки?
Приравнять скорость нулю: v(t) = 0 и решить относительно t. В этот момент a_n = 0, и полное ускорение равно касательному.
Чем отличается путь от перемещения?
Путь s — длина траектории, всегда растёт. Перемещение — вектор из начальной точки в конечную. При движении назад путь продолжает расти, а перемещение уменьшается.