Растяжение и сжатие: расчёт стержня

Продольная сила, нормальные напряжения, закон Гука, удлинение стержня, ступенчатый брус и статически неопределимые системы.

Основные формулы

Нормальное напряжение:  σ = N / A
Относительная деформация: ε = Δl / l
Закон Гука:              σ = E·ε
Удлинение участка:       Δl = N·l / (E·A)
Поперечная деформация:   ε' = −μ·ε   (μ — коэффициент Пуассона)

E — модуль Юнга: для стали ≈ 2·10⁵ МПа, для алюминия ≈ 0,7·10⁵ МПа, для чугуна ≈ 1,2·10⁵ МПа. μ для стали ≈ 0,3.

Порядок расчёта ступенчатого бруса

1. Разбить брус на участки: границы там, где меняется сила или площадь сечения.
2. Методом сечений найти продольную силу N на каждом участке (растяжение — «+», сжатие — «−»).
3. Построить эпюру N.
4. Посчитать напряжения σ = N/A по участкам и построить эпюру σ.
5. Найти удлинение каждого участка и просуммировать: Δl = Σ N_i·l_i/(E·A_i).
6. Построить эпюру перемещений сечений, начиная от заделки.
7. Проверить условие прочности: σ_max ≤ [σ].

Условие прочности и три типа задач

[σ] = σ_пред / n,
где для пластичных материалов σ_пред = σ_т (предел текучести),
для хрупких σ_пред = σ_в (предел прочности), n — коэффициент запаса

Статически неопределимые системы

Если число неизвестных реакций больше числа независимых уравнений равновесия, система статически неопределима. Разность называется степенью статической неопределимости.

1. Записать все возможные уравнения статики.
2. Составить недостающие уравнения совместности деформаций — из геометрии: как связаны удлинения элементов при деформации системы.
3. Выразить деформации через усилия по закону Гука (Δl = N·l/(E·A)).
4. Решить совместную систему уравнений статики и совместности.

Классический пример: стержень, защемлённый с двух концов и нагруженный силой посередине. Уравнение статики одно (сумма реакций равна силе), второе уравнение — суммарное удлинение стержня равно нулю, потому что оба конца закреплены.

Температурные напряжения

Свободное температурное удлинение: Δl_t = α·Δt·l

В статически неопределимой системе оно стеснено, и возникают напряжения:
σ_t = E·α·Δt   (при полном стеснении)

Для стали α ≈ 12·10⁻⁶ 1/°C. Нагрев стального стержня, зажатого с двух концов, всего на 50 °C даёт напряжение около 120 МПа — сопоставимо с рабочим. Отсюда температурные швы в конструкциях.

Учёт собственного веса

N(x) = γ·A·x  — продольная сила растёт линейно от свободного конца
σ_max = γ·l  (в заделке, не зависит от площади!)
Δl = γ·l² / (2E)

Учитывать собственный вес нужно для длинных вертикальных элементов — тросов, свай, колонн. Для коротких деталей вклад пренебрежимо мал.