Кручение вала: расчёт на прочность и жёсткость

Крутящий момент и эпюра, полярный момент сопротивления, расчёт вала на прочность и жёсткость, подбор диаметра, сравнение сплошного и полого сечения.

Кручение — самый частый вид нагружения валов приводов. Расчётная схема простая, но именно здесь студенты путают полярный момент инерции с моментом сопротивления и получают ошибку в разы.

Крутящий момент

Через передаваемую мощность:

  T = 9550 · P / n        [Н·м], P в кВт, n в об/мин
  T = P / ω               [Н·м], P в Вт, ω в рад/с

Пример: двигатель 7,5 кВт при 1450 об/мин
  T = 9550 · 7,5 / 1450 = 49,4 Н·м

Эпюра крутящих моментов строится методом сечений: момент в сечении равен алгебраической сумме внешних моментов по одну сторону от него. Эпюра всегда ступенчатая — скачок в каждой точке приложения момента.

Напряжения при кручении

Касательное напряжение в точке на расстоянии ρ от оси:

  τ = T·ρ / I_p

Максимальное — на поверхности вала:

  τ_max = T / W_p

Закон распределения линейный: в центре ноль, на краю максимум.

Условие прочности

  τ_max = T / W_p ≤ [τ]

Отсюда потребный диаметр сплошного вала:

  d ≥ ∛( 16·T / (π·[τ]) ) ≈ ∛( 5·T / [τ] )

Допускаемое напряжение: [τ] = (0,5…0,6)·[σ]
Для валов из стали 45: [τ] = 20…40 МПа при переменной нагрузке

Условие жёсткости

Угол закручивания участка длиной l:

  φ = T·l / (G·I_p)        [рад]

Относительный угол закручивания:

  θ = T / (G·I_p) ≤ [θ]    обычно [θ] = 0,25…1 град/м

G — модуль сдвига: для стали 8·10⁴ МПа, для чугуна 4,5·10⁴ МПа

Диаметр назначают по большему из двух расчётов. Для коротких валов решающей обычно оказывается прочность, для длинных трансмиссионных — жёсткость: угол закручивания накапливается по длине.

Пример расчёта

Дано: T = 400 Н·м, [τ] = 30 МПа, [θ] = 0,5 град/м, G = 8·10⁴ МПа

По прочности:
  W_p ≥ 400·10³ / 30 = 13 333 мм³
  d ≥ ∛(13333/0,2) = ∛66 667 = 40,5 мм

По жёсткости ([θ] = 0,5 град/м = 8,73·10⁻⁶ рад/мм):
  I_p ≥ 400·10³ / (8·10⁴ · 8,73·10⁻⁶) = 572 700 мм⁴
  d ≥ ⁴√(572700/0,1) = ⁴√5 727 000 = 48,9 мм

Принимаем d = 50 мм из стандартного ряда — решает жёсткость.

Почему полый вал выгоднее

Материал у оси нагружен слабо: напряжение там близко к нулю, а массу он добавляет. Убрав сердцевину, теряют немного прочности и много веса.

Типичные ошибки

• Момент в Н·м, а размеры в мм — расхождение в тысячу раз. Переводите всё в Н и мм: тогда напряжения сразу выходят в МПа.
• Угол закручивания оставлен в радианах там, где допускаемое значение задано в градусах на метр.
• Для ступенчатого вала считают один участок вместо суммирования углов по всем участкам.
• Не проверено условие жёсткости — для длинного вала оно часто оказывается определяющим.