Метод контурных токов

Пошаговый алгоритм расчёта цепи методом контурных токов, составление матрицы, учёт источников тока, проверка баланса мощностей.

Метод контурных токов сокращает число уравнений: вместо системы по законам Кирхгофа размерности (ветви) получаем систему размерности (число независимых контуров) = в − у + 1, где в — ветви, у — узлы.

Алгоритм

1. Определить число узлов у и ветвей в, посчитать число независимых контуров: n = в − у + 1.
2. Выбрать независимые контуры (каждый следующий должен содержать хотя бы одну новую ветвь) и задать направления контурных токов — удобнее все по часовой стрелке.
3. Составить систему уравнений: собственные сопротивления по диагонали со знаком «+», взаимные — со знаком «−» при одинаковом направлении обхода.
4. В правой части — алгебраическая сумма ЭДС контура: «+», если направление ЭДС совпадает с обходом.
5. Решить систему (Крамером или Гауссом) и найти контурные токи.
6. Токи ветвей: в ветви, принадлежащей одному контуру, ток равен контурному; в общей ветви — алгебраическая сумма контурных токов.
7. Проверить результат балансом мощностей.

Вид системы

R11·I11 + R12·I22 + R13·I33 = E11
R21·I11 + R22·I22 + R23·I33 = E22
R31·I11 + R32·I22 + R33·I33 = E33

R11 — сумма всех сопротивлений первого контура (всегда со знаком +)
R12 = R21 — сопротивление ветви, общей для контуров 1 и 2 (знак − при встречном обходе)

Если в цепи есть источник тока

• Проведите контур так, чтобы источник тока входил только в один контур — тогда контурный ток этого контура известен и равен току источника, а уравнение для него не составляется.
• Либо преобразуйте источник тока с параллельным сопротивлением в эквивалентный источник ЭДС: E = J·R.

Баланс мощностей — обязательная проверка

ΣP_ист = ΣP_потр
Σ E·I  +  Σ J·U_J   =   Σ I²·R

Мощность источника ЭДС берётся со знаком «+», если направление E и I совпадают,
и со знаком «−», если противоположны (источник работает в режиме потребителя).

Расхождение до 1-2% допустимо и объясняется округлениями. Больше — ошибка в токах, и её надо найти до сдачи, потому что баланс мощностей проверяют первым делом.

Когда метод неудобен

Если узлов мало, а контуров много (например, две узловые точки и пять параллельных ветвей), выгоднее метод узловых потенциалов или метод двух узлов: там будет одно уравнение вместо четырёх.