Переходные процессы: классический метод
Законы коммутации, независимые и зависимые начальные условия, постоянная времени, свободная и принуждённая составляющие, RL- и RC-цепи.
Переходный процесс — это то, что происходит между двумя установившимися режимами после коммутации. Классический метод строит решение как сумму принуждённой и свободной составляющих.
i(t) = i_пр(t) + i_св(t)
Законы коммутации
- Первый закон: ток в индуктивности не может измениться скачком — i_L(0+) = i_L(0−).
- Второй закон: напряжение на ёмкости не может измениться скачком — u_C(0+) = u_C(0−).
Это и есть независимые начальные условия. Всё остальное (напряжение на индуктивности, ток через ёмкость, токи резисторов в момент 0+) — зависимые условия, они находятся из законов Кирхгофа для схемы после коммутации при уже известных i_L(0+) и u_C(0+).
Порядок расчёта
- Рассчитать режим до коммутации (t = 0−), найти i_L(0−) и u_C(0−).
- По законам коммутации перенести их в момент 0+.
- Рассчитать установившийся режим после коммутации — это принуждённая составляющая i_пр.
- Составить характеристическое уравнение и найти корни.
- Записать свободную составляющую с постоянными интегрирования.
- Найти постоянные из начальных условий.
- Записать итог, проверить крайние точки: t = 0 и t → ∞.
Характеристическое уравнение
Практичнее всего получать его через входное сопротивление: записать Z(p) относительно места разрыва при закороченных источниках ЭДС и разорванных источниках тока, приравнять нулю. Замены: jω → p, для индуктивности pL, для ёмкости 1/(pC).
Цепи первого порядка
Один корень p = −1/τ, свободная составляющая: A·e^(−t/τ) RL-цепь: τ = L/R RC-цепь: τ = R·C Общая формула для любой величины x: x(t) = x(∞) + [x(0+) − x(∞)]·e^(−t/τ)
Цепи второго порядка
| Корни характеристического уравнения | Характер процесса | Вид свободной составляющей |
|---|---|---|
| Вещественные разные (p1 ≠ p2) | Апериодический | A1·e^(p1·t) + A2·e^(p2·t) |
| Вещественные равные (p1 = p2) | Критический | (A1 + A2·t)·e^(p·t) |
| Комплексно-сопряжённые | Колебательный | A·e^(−δt)·sin(ω_св·t + ψ) |
Для RLC-контура граница между апериодическим и колебательным режимами — критическое сопротивление R_кр = 2·√(L/C).
Проверка результата
- Подставьте t = 0 — должно получиться найденное начальное значение.
- Подставьте t → ∞ — должна остаться только принуждённая составляющая.
- Убедитесь, что ток в индуктивности и напряжение на ёмкости в точке t = 0 непрерывны.
Частые вопросы
Классический или операторный метод?
Для цепей первого порядка и простых цепей второго классический быстрее. Для разветвлённых цепей и сложных воздействий операторный метод (преобразование Лапласа) надёжнее — меньше ручной работы с начальными условиями.
Что такое зависимые начальные условия и зачем они?
Это значения остальных токов и напряжений в момент 0+. Они нужны для нахождения постоянных интегрирования в цепях второго порядка, где требуется ещё и производная в нуле.