Электростатика и магнетизм: формулы и задачи

Закон Кулона, напряжённость и потенциал поля, конденсаторы и их соединения, магнитная индукция, силы Ампера и Лоренца, электромагнитная индукция и правило Ленца.

Электромагнетизм — второй по объёму раздел общей физики. Формул много, но они делятся на две симметричные группы: электрическое поле создают заряды, магнитное — токи.

Электростатика

Закон Кулона:
  F = k·|q₁·q₂| / (ε·r²),   k = 9·10⁹ Н·м²/Кл²

Напряжённость поля:
  E = F/q                     [В/м]
  точечного заряда:  E = k·q/(ε·r²)
  бесконечной плоскости: E = σ/(2·ε₀·ε)

Потенциал и напряжение:
  φ = k·q/(ε·r),   U = φ₁ − φ₂
  Связь: E = U/d  (для однородного поля)

Работа по перемещению заряда:
  A = q·(φ₁ − φ₂) = q·U    и не зависит от формы пути

Конденсаторы

  C = q/U                    [Ф]
  плоский:  C = ε·ε₀·S/d

Энергия:  W = C·U²/2 = q²/(2C) = q·U/2

Соединения:
  параллельно:    C = C₁ + C₂ + …          U одинаково
  последовательно: 1/C = 1/C₁ + 1/C₂ + …   q одинаков

Обратите внимание: у конденсаторов правила соединения противоположны правилам для резисторов. При последовательном соединении общая ёмкость уменьшается — распространённый источник ошибок в расчётах цепей.

Магнитное поле

Индукция поля:
  прямого провода:      B = μ₀·μ·I/(2π·r)
  в центре витка:       B = μ₀·μ·I/(2R)
  внутри соленоида:     B = μ₀·μ·n·I,  n = N/l

  μ₀ = 4π·10⁻⁷ Гн/м

Магнитный поток:
  Φ = B·S·cos α          [Вб]

Движение заряда в магнитном поле перпендикулярно B:

  q·v·B = m·v²/R

  Радиус: R = m·v/(q·B)
  Период: T = 2π·m/(q·B)   — не зависит от скорости!

Независимость периода от скорости лежит в основе циклотрона.

Электромагнитная индукция

Закон Фарадея:
  ε = −dΦ/dt         знак минус — правило Ленца

Для N витков:  ε = −N·dΦ/dt

ЭДС в движущемся проводнике:
  ε = B·l·v·sin α

Самоиндукция:
  Φ = L·I,   ε = −L·dI/dt
  Энергия магнитного поля:  W = L·I²/2

Правило Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы своим полем противодействовать изменению внешнего потока. Физический смысл — сохранение энергии: если бы ток помогал изменению, система разгонялась бы сама.

Электрический ток

  Закон Ома для участка:   I = U/R
  для полной цепи:         I = ε/(R + r)
  Сопротивление проводника: R = ρ·l/S

  Мощность:  P = I²·R = U²/R = U·I
  Закон Джоуля-Ленца: Q = I²·R·t

Соединения резисторов:
  последовательно: R = R₁ + R₂ + …
  параллельно:     1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …

Алгоритм решения задач

1. Определить, что создаёт поле: заряд (электрическое) или ток (магнитное).
2. Нарисовать схему с указанием направлений векторов и токов.
3. Для системы зарядов найти вклад каждого и сложить векторно, разложив по осям.
4. Для цепей упростить схему, последовательно свернув параллельные и последовательные участки.
5. Проверить размерности: результат в вольтах, теслах, амперах — а не в их произведениях.
6. Оценить порядок величины: индукция в теслах у бытовых устройств редко превышает единицы, поле — миллитеслы.

Ориентиры для проверки ответа

Получив в ответе поле в сотни тесла или ёмкость в фарады, ищите ошибку в порядке величины: чаще всего дело в переводе сантиметров в метры или микрофарад в фарады.