Кинематика и динамика: решение задач

Равномерное и равноускоренное движение, движение по окружности, законы Ньютона, силы трения и натяжения, наклонная плоскость, алгоритм решения задач динамики.

Механика — первый раздел общей физики и самый формализованный: почти любая задача решается по одному алгоритму. Разберём его и типовые схемы, которые встречаются в контрольных.

Кинематика: основные формулы

Равномерное движение:
  x = x₀ + v·t

Равноускоренное:
  v  = v₀ + a·t
  x  = x₀ + v₀·t + a·t²/2
  v² = v₀² + 2·a·(x − x₀)      — без времени, удобно когда t не дано

Средняя скорость:
  v_ср = весь путь / всё время   (не среднее арифметическое скоростей!)

Свободное падение и движение под углом

Вертикально вверх со скоростью v₀:
  время подъёма    t = v₀/g
  высота подъёма    h = v₀²/(2g)
  полное время     2v₀/g

Бросок под углом α (движение раскладывается на два независимых):
  по горизонтали: x = v₀·cos α·t          (равномерное)
  по вертикали:   y = v₀·sin α·t − g·t²/2  (равноускоренное)

  дальность:  L = v₀²·sin 2α / g     — максимум при α = 45°
  высота:     H = v₀²·sin²α / (2g)
  время полёта: T = 2·v₀·sin α / g

Движение по окружности

  Период и частота:  T = 1/ν,  ω = 2π/T = 2πν
  Линейная скорость: v = ω·R
  Центростремительное ускорение: a_ц = v²/R = ω²·R

Сила, удерживающая тело на окружности:
  F_ц = m·v²/R

Это не отдельная сила, а результирующая: её роль играют
натяжение нити, трение, реакция опоры или сила тяжести.

Законы Ньютона

  I.   Тело сохраняет состояние покоя или равномерного движения,
       если сумма сил равна нулю.

  II.  Σ F = m·a          — основное уравнение динамики

  III. F₁₂ = −F₂₁         — силы приложены к разным телам,
                            поэтому никогда не уравновешивают друг друга

Алгоритм решения задачи по динамике

1. Сделать рисунок и указать все силы, действующие на тело: тяжести, реакции опоры, трения, натяжения, внешние.
2. Выбрать систему координат: одну ось направить по ускорению — так проекция ускорения на другую ось будет нулевой.
3. Записать второй закон Ньютона в векторном виде: Σ F = m·a.
4. Спроецировать уравнение на каждую ось.
5. При нескольких телах составить уравнения для каждого и добавить связи: одинаковое натяжение нити, равные по модулю ускорения.
6. Решить систему, подставить числа только в конце.
7. Проверить размерность и правдоподобие результата.

Типовые силы

Наклонная плоскость

Тело на наклонной плоскости с углом α, ось x — вдоль склона:

  x:  m·g·sin α − F_тр = m·a
  y:  N − m·g·cos α = 0   →   N = m·g·cos α

Подставляя F_тр = μ·N:

  a = g·(sin α − μ·cos α)

Условие начала скольжения: tg α ≥ μ
Отсюда практический способ измерить коэффициент трения:
наклонять плоскость до начала движения и замерить угол.

Связанные тела

Два груза через блок (машина Атвуда), m₁ > m₂:

  m₁:  m₁·g − T = m₁·a
  m₂:  T − m₂·g = m₂·a

Сложив уравнения (T сокращается):

  a = (m₁ − m₂)·g / (m₁ + m₂)
  T = 2·m₁·m₂·g / (m₁ + m₂)

При m₁ = m₂ ускорение нулевое, а натяжение равно m·g — проверка формул.

Частые ошибки

• Центростремительная сила добавлена к списку действующих сил как самостоятельная — она уже является суммой имеющихся.
• Реакция опоры приравнена к m·g на наклонной плоскости, хотя там N = m·g·cos α.
• Ускорение свободного падения подставлено со знаком плюс при движении вверх без согласования с выбранной осью.
• Углы взяты в градусах при вычислении в радианах или наоборот.
• Для связанных тел составлено одно уравнение вместо системы по каждому телу.