Законы сохранения: импульс, работа, энергия

Импульс и закон его сохранения, упругие и неупругие соударения, работа силы и мощность, кинетическая и потенциальная энергия, КПД, применение законов сохранения.

Законы сохранения позволяют решать задачи, где детали процесса неизвестны: удар, взрыв, движение по сложной траектории. Достаточно сравнить состояния до и после — что происходило между ними, не важно.

Импульс

  p = m·v            [кг·м/с], величина векторная

Второй закон Ньютона в импульсной форме:
  F·Δt = Δp          F·Δt называют импульсом силы

Закон сохранения импульса для замкнутой системы:
  Σ p_до = Σ p_после

Применяется покомпонентно: отдельно по оси x, отдельно по y.

Соударения

Абсолютно неупругий удар (тела движутся вместе):

  m₁v₁ + m₂v₂ = (m₁ + m₂)·u
  u = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)

Потеря энергии:
  ΔE = m₁m₂(v₁ − v₂)² / (2(m₁ + m₂))

Абсолютно упругий центральный удар:
  u₁ = ((m₁ − m₂)v₁ + 2m₂v₂)/(m₁ + m₂)
  u₂ = ((m₂ − m₁)v₂ + 2m₁v₁)/(m₁ + m₂)

При равных массах тела обмениваются скоростями — эффект,
хорошо знакомый по бильярду.

Работа и мощность

  A = F·s·cos α          [Дж]

  α = 0°   — сила по направлению движения, работа максимальна
  α = 90°  — работа равна нулю
  α = 180° — работа отрицательна (трение, торможение)

Мощность:
  N = A/t = F·v·cos α    [Вт]

Работа переменной силы — площадь под графиком F(x),
для пружины A = k·x²/2.

Сила, перпендикулярная перемещению, работы не совершает: носильщик, идущий с грузом по горизонтали, физически работы над грузом не выполняет, хотя устаёт. Центростремительная сила по той же причине не меняет кинетическую энергию.

Энергия

  Кинетическая:                E_к = m·v²/2 = p²/(2m)
  Потенциальная в поле тяжести: E_п = m·g·h
  Потенциальная упругая:        E_п = k·x²/2

Полная механическая энергия: E = E_к + E_п

Закон сохранения (при отсутствии трения):
  E_к1 + E_п1 = E_к2 + E_п2

С учётом трения:
  E₁ − E₂ = A_трения

Пример: тело съезжает с горки высотой 5 м, μ = 0,2, угол 30°

  Длина склона: L = h/sin 30° = 10 м
  Работа трения: A_тр = μ·m·g·cos 30°·L = 0,2·0,866·10·m·g = 1,73·m·g

  m·g·h = m·v²/2 + A_тр
  m·g·5 = m·v²/2 + 1,73·m·g
  v² = 2·g·(5 − 1,73) = 2·9,8·3,27 = 64,1
  v = 8,0 м/с

Без трения было бы v = √(2·9,8·5) = 9,9 м/с.

КПД

  η = A_полезная / A_затраченная · 100 %

Для механизмов с последовательными звеньями:
  η_общий = η₁ · η₂ · η₃ · …

Типичные значения:
  зубчатая передача    0,96-0,98
  ременная передача    0,94-0,96
  подшипники          0,99
  червячная передача   0,70-0,90
  редуктор двухступ.   0,92-0,95

Что выбрать: импульс или энергию

• Удар, слипание, взрыв, отдача — начинайте с закона сохранения импульса: он выполняется всегда.
• Движение по сложной траектории, скорость в точке, высота подъёма — закон сохранения энергии.
• Упругий удар — оба закона одновременно, получается система из двух уравнений.
• Есть трение или деформация — энергия не сохраняется, но убыль равна работе силы трения.
• Спрашивают силу или время взаимодействия — понадобится импульсная форма второго закона: F = Δp/Δt.

Задачи, где законы сохранения незаменимы

Баллистический маятник — измерение скорости пули:

  Удар (импульс):   m·v = (m + M)·u
  Подъём (энергия): (m + M)·u²/2 = (m + M)·g·h

  Отсюда:  v = (m + M)/m · √(2·g·h)

Замерив только массы и высоту подъёма, находим скорость пули,
хотя сам процесс удара остаётся неизвестным.