Колебания, волны и оптика
Гармонические колебания, математический и пружинный маятник, резонанс, характеристики волн, интерференция и дифракция, формула тонкой линзы и построение изображений.
Колебания и волны связывают механику с оптикой и электротехникой: пружинный маятник, колебательный контур и световая волна описываются одним и тем же уравнением. Освоив одну модель, получаете три.
Гармонические колебания
x = A·sin(ω·t + φ₀) или x = A·cos(ω·t + φ₀) A — амплитуда, ω — циклическая частота, φ₀ — начальная фаза ω = 2π/T = 2π·ν v = dx/dt = A·ω·cos(ω·t + φ₀), v_max = A·ω a = dv/dt = −A·ω²·sin(ω·t + φ₀), a_max = A·ω² Условие гармоничности: a = −ω²·x сила пропорциональна смещению и направлена к положению равновесия.
| Система | Период | От чего не зависит |
|---|---|---|
| Пружинный маятник | T = 2π·√(m/k) | От амплитуды и от g |
| Математический маятник | T = 2π·√(l/g) | От массы и от амплитуды (при малых углах) |
| Физический маятник | T = 2π·√(I/(m·g·d)) | От амплитуды |
| Колебательный контур | T = 2π·√(L·C) | От начального заряда |
Энергия колебаний
E = k·A²/2 = m·ω²·A²/2 = const Кинетическая и потенциальная переходят друг в друга: в положении равновесия E = E_к, v максимальна в крайних точках E = E_п, v = 0, a максимально Частота колебаний энергии вдвое выше частоты колебаний координаты.
Затухание и резонанс
Затухающие колебания: x = A₀·e^(−β·t)·sin(ω·t + φ₀) β — коэффициент затухания логарифмический декремент: λ = β·T добротность: Q = π/λ Вынужденные колебания: амплитуда максимальна при резонансе ω_вын ≈ ω₀ = собственная частота Чем выше добротность, тем острее и выше резонансный пик.
Резонанс объясняет и разрушение конструкций от совпадения частот, и работу радиоприёмника, который выделяет нужную станцию. В курсовых по ТАУ он же проявляется как недостаточный запас устойчивости.
Волны
λ = v·T = v/ν длина волны v = √(F/μ) скорость в струне v = 343 м/с звук в воздухе при 20 °C c = 3·10⁸ м/с свет в вакууме Уравнение плоской волны: s(x, t) = A·sin(ω·t − k·x), k = 2π/λ — волновое число Стоячая волна в струне длиной l: λₙ = 2l/n, νₙ = n·v/(2l), n = 1, 2, 3 …
Интерференция и дифракция
Условия интерференции при разности хода Δ: максимум: Δ = m·λ (m = 0, ±1, ±2 …) минимум: Δ = (m + ½)·λ Опыт Юнга (две щели на расстоянии d, экран на L): положение максимумов: x_m = m·λ·L/d расстояние между полосами: Δx = λ·L/d Дифракционная решётка с периодом d: d·sin φ = m·λ Это рабочая формула спектрального анализа: по углу отклонения определяют длину волны, а значит состав излучения.
Геометрическая оптика
Закон преломления: n₁·sin α = n₂·sin β, n = c/v Полное внутреннее отражение при переходе в менее плотную среду: sin α_кр = n₂/n₁ Формула тонкой линзы: 1/F = 1/d + 1/f D = 1/F — оптическая сила, дптр Увеличение: Γ = h′/h = f/d Знаки: F > 0 у собирающей линзы, F < 0 у рассеивающей; f > 0 для действительного изображения, f < 0 для мнимого.
| Положение предмета | Изображение | Пример устройства |
|---|---|---|
| d > 2F | Действительное, уменьшенное, обратное | Фотоаппарат, глаз |
| d = 2F | Действительное, в натуральную величину | — |
| F < d < 2F | Действительное, увеличенное, обратное | Проектор |
| d = F | Изображения нет, лучи параллельны | Коллиматор |
| d < F | Мнимое, увеличенное, прямое | Лупа |
Лабораторные работы по теме
- Определение ускорения свободного падения по периоду математического маятника: g = 4π²·l/T².
- Определение жёсткости пружины двумя способами — статическим по закону Гука и динамическим по периоду.
- Измерение скорости звука методом стоячей волны в трубе.
- Определение длины волны лазера с помощью дифракционной решётки.
- Определение фокусного расстояния линзы и проверка формулы тонкой линзы.
- Измерение показателя преломления стекла по углу полного внутреннего отражения.
В каждой из этих работ период измеряют по 20-30 полным колебаниям и делят на их число — так случайная погрешность отсчёта времени уменьшается пропорционально числу колебаний. Этот приём стоит явно описать в отчёте.
Частые вопросы
Почему период маятника не зависит от амплитуды?
Только при малых углах, когда sin α ≈ α и возвращающая сила пропорциональна смещению. При углах свыше 15° период начинает расти, и колебания перестают быть строго гармоническими.
Чем интерференция отличается от дифракции?
Интерференция — наложение волн от нескольких источников, дифракция — отклонение волны от прямолинейного распространения на препятствии. На практике они проявляются вместе: картина от решётки — результат обоих явлений.
Почему изображение в фотоаппарате перевёрнутое?
Предмет находится дальше двойного фокусного расстояния, а в этом случае собирающая линза всегда даёт обратное изображение. В цифровой камере его переворачивает процессор, в плёночной — при печати.