Молекулярная физика и газовые законы

Основное уравнение МКТ, уравнение состояния идеального газа, изопроцессы и их графики, внутренняя энергия, первый закон термодинамики, влажность воздуха.

Молекулярная физика связывает микромир и измеримые величины: давление оказывается следствием ударов молекул, а температура — мерой их кинетической энергии. Эта связь и составляет содержание раздела.

Основное уравнение МКТ

  p = (1/3)·m₀·n·v̄²  =  (2/3)·n·Ē_к

m₀ — масса молекулы, n — концентрация, v̄² — средний квадрат скорости

Средняя кинетическая энергия молекулы:
  Ē_к = (3/2)·k·T,    k = 1,38·10⁻²³ Дж/К

Отсюда связь давления и температуры:
  p = n·k·T

Средняя квадратичная скорость:
  v_кв = √(3·k·T/m₀) = √(3·R·T/M)

Оценка скорости молекул воздуха при 20 °C (M = 0,029 кг/моль):

  v_кв = √(3 · 8,31 · 293 / 0,029) = √251 900 = 502 м/с

Это быстрее скорости звука — молекулы движутся стремительно,
но из-за столкновений перемешивание газа идёт медленно.

Уравнение состояния

Уравнение Менделеева-Клапейрона:

  p·V = (m/M)·R·T = ν·R·T

  R = 8,31 Дж/(моль·К) — универсальная газовая постоянная
  N_A = 6,02·10²³ моль⁻¹ — число Авогадро

Объединённый газовый закон (для постоянной массы):
  p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂

Плотность газа:  ρ = p·M/(R·T)

Нормальные условия: 0 °C, 101 325 Па, V_молярный = 22,4 л/моль

Изопроцессы

Температуру во всех этих законах подставляют только в кельвинах: отношение объёмов при 10 °C и 20 °C равно 283/293, а не 10/20. Подстановка градусов Цельсия — самая частая ошибка в задачах на газовые законы.

Внутренняя энергия и первый закон

Внутренняя энергия идеального газа:

  U = (i/2)·ν·R·T

  i — число степеней свободы:
    одноатомный    i = 3   →  U = 1,5·ν·R·T
    двухатомный    i = 5   →  U = 2,5·ν·R·T
    многоатомный   i = 6   →  U = 3·ν·R·T

Первый закон термодинамики:
  Q = ΔU + A

Работа газа при расширении:
  изобарном:      A = p·ΔV = ν·R·ΔT
  изотермическом: A = ν·R·T·ln(V₂/V₁)
  изохорном:      A = 0
  адиабатном:     A = −ΔU

Пример: 2 моля кислорода нагревают от 300 до 400 K при постоянном давлении

  Двухатомный газ, i = 5

  ΔU = 2,5 · 2 · 8,31 · 100 = 4155 Дж
  A  = 2 · 8,31 · 100 = 1662 Дж
  Q  = 4155 + 1662 = 5817 Дж

Проверка через теплоёмкость:
  c_p = (i+2)/2 · R = 3,5 · 8,31 = 29,1 Дж/(моль·К)
  Q = 2 · 29,1 · 100 = 5820 Дж ✓

Влажность воздуха

Абсолютная влажность — плотность водяного пара, кг/м³

Относительная влажность:
  φ = ρ/ρ_нас · 100 % = p/p_нас · 100 %

p_нас — давление насыщенного пара при данной температуре,
берётся из таблиц: при 20 °C это 2338 Па.

Точка росы — температура, при которой пар становится насыщенным.
При охлаждении ниже неё выпадает конденсат.

Агрегатные переходы

  Нагрев без перехода:  Q = c·m·ΔT
  Плавление:            Q = λ·m       (λ льда = 3,35·10⁵ Дж/кг)
  Парообразование:      Q = r·m       (r воды = 2,26·10⁶ Дж/кг)
  Сгорание топлива:     Q = q·m

Уравнение теплового баланса при смешивании:
  Σ Q_отданное = Σ Q_полученное

При этом теплота перехода не меняет температуру:
на графике нагрева появляется горизонтальная площадка.

Пример: сколько теплоты нужно, чтобы 2 кг льда при −10 °C
превратить в пар при 100 °C?

  Нагрев льда:      2 · 2100 · 10   = 42 000 Дж
  Плавление:        2 · 335 000     = 670 000 Дж
  Нагрев воды:      2 · 4200 · 100  = 840 000 Дж
  Испарение:        2 · 2 260 000   = 4 520 000 Дж
                                    ─────────────
  ИТОГО                               6 072 000 Дж ≈ 6,07 МДж

Обратите внимание: на испарение уходит 74 % всей энергии.

Типичные ошибки

• Температура подставлена в градусах Цельсия вместо кельвинов.
• Молярная масса взята в г/моль, а не в кг/моль — расхождение в тысячу раз.
• Забыта теплота фазового перехода: считают только нагрев.
• Число степеней свободы взято как 3 для воздуха, хотя воздух двухатомный (i = 5).
• В изотермической работе перепутаны V₂ и V₁ под логарифмом — знак работы получается обратным.