Кинематика механизмов: структура и анализ

Звенья и кинематические пары, формула Чебышева для степеней свободы, группы Ассура, планы скоростей и ускорений, передаточные отношения зубчатых и планетарных передач.

ТММ начинается с вопроса: сколько независимых движений имеет механизм и по каким законам движутся его точки. Ответ на первый даёт структурный анализ, на второй — кинематический.

Звенья и кинематические пары

Классификация пар по числу отнятых степеней свободы:

  I класс   — 1 связь (шар на плоскости)
  III класс — 3 связи (сферическая)
  IV класс  — 4 связи (цилиндрическая)
  V класс   — 5 связей (вращательная, поступательная, винтовая)

Низшие пары — контакт по поверхности (V класс), высшие — по линии или точке.
В плоских механизмах преобладают пары V класса.

Степени свободы

Формула Чебышева для плоского механизма:

  W = 3n − 2p₅ − p₄

n — число подвижных звеньев (стойка не считается)
p₅ — число пар V класса (низших)
p₄ — число пар IV класса (высших)

Для пространственного механизма — формула Сомова-Малышева:
  W = 6n − 5p₅ − 4p₄ − 3p₃ − 2p₂ − p₁

Пример: кривошипно-ползунный механизм

  Звенья: кривошип, шатун, ползун → n = 3
  Пары: кривошип-стойка, кривошип-шатун, шатун-ползун,
        ползун-стойка → p₅ = 4, p₄ = 0

  W = 3·3 − 2·4 = 9 − 8 = 1

Одна степень свободы: задав угол поворота кривошипа,
полностью определяем положение всех звеньев.
Именно это и нужно от рабочего механизма.

Группы Ассура

Любой механизм разбирается на первичный механизм (кривошип со стойкой, W = 1) и присоединённые к нему структурные группы с нулевой степенью свободы. Класс и порядок групп определяют, каким методом вести кинематический анализ.

• Группа II класса — два звена и три пары, самая распространённая. Механизм из таких групп рассчитывается последовательно, группа за группой.
• Группа III класса — три звена и четыре пары, требует особых приёмов.
• Разбиение начинают с наиболее удалённого от кривошипа звена.
• Класс механизма — это класс самой сложной входящей в него группы.

Планы скоростей и ускорений

Скорость точки B, принадлежащей звену AB:

  v_B = v_A + v_BA,   где v_BA = ω·AB и направлена ⊥ AB

Ускорение:
  a_B = a_A + a_BA^n + a_BA^τ

  a_BA^n = ω²·AB — нормальное, направлено от B к A
  a_BA^τ = ε·AB  — тангенциальное, ⊥ AB

При относительном движении по вращающейся направляющей
добавляется ускорение Кориолиса:
  a_кор = 2·ω × v_отн,   модуль 2·ω·v_отн

1. Выбрать масштаб плана: μ_v в (м/с)/мм.
2. Отложить известный вектор — обычно скорость точки кривошипа v_A = ω·OA.
3. Из полюса плана провести направление абсолютной скорости искомой точки.
4. Из конца вектора v_A провести направление относительной скорости, перпендикулярно звену.
5. Точка пересечения даёт искомый вектор; измерить его и умножить на масштаб.
6. Угловые скорости звеньев: ω = v_отн / длина звена.

План — это графическое решение векторного уравнения. Свойство подобия: фигура на плане скоростей, образованная точками одного звена, подобна фигуре самого звена и повёрнута на 90°. Это позволяет находить скорости промежуточных точек без дополнительных построений.

Передаточное отношение

Для пары зубчатых колёс:

  i₁₂ = ω₁/ω₂ = n₁/n₂ = z₂/z₁ = d₂/d₁

Знак: минус при внешнем зацеплении (вращение в разные стороны),
плюс при внутреннем.

Многоступенчатая передача:
  i_общее = i₁₂ · i₃₄ · i₅₆ = (z₂·z₄·z₆)/(z₁·z₃·z₅)

Паразитное колесо меняет направление, но не передаточное отношение.

Планетарная передача — формула Виллиса:

  i₁₃^H = (ω₁ − ω_H)/(ω₃ − ω_H)

H — водило. Метод обращения движения: мысленно останавливаем водило,
сообщая всей передаче скорость −ω_H, и считаем как обычную.

Для распространённой схемы с неподвижным колесом 3:
  i₁H = 1 + z₃/z₁

Планетарная передача даёт большое отношение в малых габаритах —
отсюда её применение в редукторах и автоматических коробках.

Типовые механизмы

Что делают в курсовой по ТММ

1. Структурный анализ: подсчёт степеней свободы, разбиение на группы Ассура.
2. Построение планов положений механизма для 12 положений кривошипа.
3. Планы скоростей и ускорений для двух-трёх положений.
4. Графики перемещения, скорости и ускорения выходного звена за цикл.
5. Силовой анализ: определение реакций в парах и уравновешивающего момента.
6. Расчёт маховика по методу Виттенбауэра, если требуется выравнивание хода.
7. Синтез кулачкового или зубчатого механизма по заданным условиям.