Сложное сопротивление и теории прочности

Косой изгиб, внецентренное растяжение, изгиб с кручением, четыре теории прочности и условия их применения, расчёт вала по приведённому моменту.

В реальной детали редко действует один вид нагрузки. Вал одновременно изгибается и скручивается, колонна сжимается с эксцентриситетом. Сложное сопротивление — про то, как свести такие случаи к проверке по одному числу.

Принцип независимости действия сил

Пока деформации малы и материал работает упруго, напряжения от каждой нагрузки можно посчитать отдельно и сложить. На этом строятся все расчёты сложного сопротивления. За пределом упругости принцип не работает.

Косой изгиб

Изгибающий момент действует в плоскости, не совпадающей с главными осями:

  σ = M_x·y/I_x + M_y·x/I_y

Опасная точка — наиболее удалённая от нейтральной линии:

  σ_max = M_x/W_x + M_y/W_y ≤ [σ]

Нейтральная линия при косом изгибе не перпендикулярна
плоскости действия момента:
  tg β = (I_x/I_y)·tg α

Внецентренное сжатие

Сила приложена не в центре тяжести сечения:

  σ = N/A + N·e_y·y/I_x + N·e_x·x/I_y

Ядро сечения — область вокруг центра тяжести, при приложении
силы внутри которой во всём сечении напряжения одного знака.

  для прямоугольника b×h — ромб с диагоналями h/3 и b/3
  для круга диаметром d — круг диаметром d/4

Это основа расчёта фундаментов и кирпичных колонн:
материал плохо работает на растяжение, поэтому равнодействующая
должна попадать в ядро сечения.

Изгиб с кручением

Основной случай для валов: зубчатые колёса и шкивы создают изгибающие моменты, а передаваемая мощность — крутящий. Оба действуют одновременно, и напряжения разной природы — нормальные и касательные — складывать напрямую нельзя.

Суммарный изгибающий момент из двух плоскостей:
  M = √(M_x² + M_y²)

Приведённый момент по третьей теории прочности:
  M_прив = √(M² + T²)

По четвёртой (энергетической):
  M_прив = √(M² + 0,75·T²)

Условие прочности:
  σ_экв = M_прив / W ≤ [σ],   W = πd³/32 для круглого сечения

Потребный диаметр:
  d ≥ ∛(32·M_прив/(π·[σ])) ≈ ∛(10,2·M_прив/[σ])

Теории прочности

Испытания дают одно число — предел текучести при простом растяжении. Теория прочности отвечает на вопрос, как сравнить с ним сложное напряжённое состояние, где действуют три главных напряжения сразу.

Для плоского напряжённого состояния (вал при изгибе с кручением):

  III теория:  σ_экв = √(σ² + 4τ²)
  IV теория:   σ_экв = √(σ² + 3τ²)

Разница около 15 %: третья теория даёт больший запас,
четвёртая ближе к эксперименту. В машиностроении
чаще применяют третью — она проще и надёжнее.

Пример: вал ⌀50 мм, M = 800 Н·м, T = 600 Н·м, [σ] = 80 МПа

  M_прив = √(800² + 600²) = 1000 Н·м   (III теория)

  W = π·50³/32 = 12 272 мм³
  σ_экв = 1000·10³/12 272 = 81,5 МПа > 80 МПа

  Не проходит. Требуемый диаметр:
  d ≥ ∛(10,2·10⁶/80) = ∛127 500 = 50,3 мм → принимаем 55 мм

  Проверка: W = π·55³/32 = 16 333 мм³
  σ_экв = 61,2 МПа ≤ 80 МПа ✓

Как выбрать теорию

• Пластичный материал (сталь, алюминий) — третья или четвёртая теория.
• Хрупкий материал (чугун, керамика) при растяжении — первая теория или теория Мора.
• Материал с разной прочностью на растяжение и сжатие — только теория Мора.
• Требуется гарантированный запас при простом расчёте — третья теория.
• Нужна точность и есть возможность считать по всем компонентам — четвёртая.

Порядок расчёта вала

1. Построить расчётную схему: опоры, силы от передач, их точки приложения.
2. Найти реакции опор в горизонтальной и вертикальной плоскостях.
3. Построить эпюры M_x, M_y и T.
4. В каждом характерном сечении вычислить M = √(M_x² + M_y²).
5. Найти M_прив по выбранной теории прочности.
6. Определить опасное сечение — по максимуму M_прив с учётом концентраторов.
7. Проверить прочность и при необходимости увеличить диаметр.
8. Для ответственных валов выполнить проверку на усталость с коэффициентами концентрации.