Гидростатика: давление жидкости и сила на стенку
Основное уравнение гидростатики, абсолютное и избыточное давление, сила давления на плоскую и криволинейную стенку, центр давления, закон Архимеда и плавание тел.
Гидростатика — раздел о покоящейся жидкости. Задачи здесь однотипны: найти давление в точке, силу на стенку резервуара и точку её приложения. Разберём все три.
Основное уравнение
p = p₀ + ρ·g·h p₀ — давление на свободной поверхности (обычно атмосферное) ρ — плотность жидкости, для воды 1000 кг/м³ h — глубина погружения точки Для воды: каждые 10 метров глубины дают примерно одну атмосферу
| Вид давления | Определение | Связь |
|---|---|---|
| Абсолютное | Отсчитывается от полного вакуума | p_абс = p_атм + p_изб |
| Избыточное (манометрическое) | Превышение над атмосферным | p_изб = p_абс − p_атм |
| Вакуумметрическое | Недостаток до атмосферного | p_вак = p_атм − p_абс |
| Атмосферное | Нормальное | 101 325 Па ≈ 10,33 м вод. ст. |
Свойства гидростатического давления
- Направлено всегда по нормали внутрь рассматриваемого объёма — жидкость не сопротивляется сдвигу.
- В точке одинаково по всем направлениям и не зависит от ориентации площадки.
- Зависит только от глубины, а не от формы сосуда — гидростатический парадокс.
Отсюда работа гидравлического пресса: давление передаётся по всему объёму без изменения (закон Паскаля), поэтому малая сила на узком поршне создаёт большую на широком — F₂ = F₁·S₂/S₁.
Сила давления на плоскую стенку
P = ρ·g·h_ц · S h_ц — глубина погружения центра тяжести площадки S — площадь смоченной поверхности Точка приложения (центр давления) лежит ниже центра тяжести: y_д = y_ц + I_ц / (y_ц · S) I_ц — момент инерции площадки относительно оси через центр тяжести
Пример: прямоугольный щит шириной b = 2 м перекрывает канал глубиной H = 3 м, вода до верхней кромки Центр тяжести: h_ц = H/2 = 1,5 м Площадь: S = 2·3 = 6 м² P = 1000·9,81·1,5·6 = 88 290 Н ≈ 88,3 кН I_ц = b·H³/12 = 2·27/12 = 4,5 м⁴ y_д = 1,5 + 4,5/(1,5·6) = 1,5 + 0,5 = 2,0 м от поверхности Сила приложена на 2/3 глубины — для прямоугольника это всегда так.
Криволинейная стенка
Силу раскладывают на составляющие:
Горизонтальная: P_г = ρ·g·h_ц · S_верт
где S_верт — проекция стенки на вертикальную плоскость
Вертикальная: P_в = ρ·g·V_т
где V_т — объём тела давления
Равнодействующая: P = √(P_г² + P_в²)
Угол наклона: tg α = P_в / P_г
Тело давления — объём между стенкой, свободной поверхностью и вертикалями, проведёнными через края стенки. Если жидкость находится над стенкой, вертикальная составляющая направлена вниз; если под ней — вверх.
Закон Архимеда
F_а = ρ_ж · g · V_погр Сила направлена вверх и приложена в центре водоизмещения — центре тяжести вытесненного объёма Условия: ρ_тела < ρ_жидкости — плавает на поверхности ρ_тела = ρ_жидкости — плавает в толще ρ_тела > ρ_жидкости — тонет
| Понятие | Смысл |
|---|---|
| Водоизмещение | Масса вытесненной жидкости, равна массе плавающего тела |
| Осадка | Глубина погружения нижней точки корпуса |
| Метацентр | Точка пересечения линии действия силы поддержания с осью симметрии при крене |
| Метацентрическая высота | Расстояние от метацентра до центра тяжести; положительная — судно остойчиво |
Остойчивость определяет не сама сила Архимеда, а взаимное положение центра тяжести и метацентра. Груз, поднятый на верхнюю палубу, поднимает центр тяжести и может сделать метацентрическую высоту отрицательной — судно опрокинется.
Приборы для измерения давления
- Пьезометр — вертикальная трубка, давление читается по высоте столба: p = ρ·g·h. Прост, но пригоден лишь для малых давлений.
- U-образный манометр с ртутью — за счёт большей плотности измеряет давления в 13,6 раз выше при той же высоте.
- Дифференциальный манометр — измеряет разность давлений между двумя точками, основа расходомеров.
- Пружинный манометр — показывает избыточное давление, применяется в технике повсеместно.
Частые ошибки
- В формуле силы взята глубина нижней кромки вместо центра тяжести — результат завышен вдвое.
- Забыто, что сила приложена в центре давления, а не в центре тяжести: момент относительно оси щита посчитан неверно.
- При расчёте объёма тела давления учтён объём самой конструкции вместо объёма жидкости над стенкой.
- Плотность подставлена в г/см³ вместо кг/м³ — расхождение в тысячу раз.
Частые вопросы
Почему давление не зависит от формы сосуда?
Оно определяется только высотой столба жидкости над точкой. Узкая трубка и широкий бак с одинаковым уровнем создают у дна одно и то же давление — это и есть гидростатический парадокс.
Как считать силу, если жидкости с двух сторон стенки разные?
Найти силу с каждой стороны отдельно и взять разность, учитывая точки приложения. Результирующий момент считается через оба центра давления.
Меняется ли сила Архимеда с глубиной?
Нет, пока тело полностью погружено: объём вытесненной жидкости постоянен. Она меняется лишь при частичном погружении или при заметном изменении плотности жидкости с глубиной.