Магнитные цепи: расчёт и закон полного тока

Величины магнитного поля, аналогия с электрической цепью, закон полного тока, кривая намагничивания, расчёт неразветвлённой цепи с зазором, потери в стали.

Магнитная цепь — основа любого трансформатора, электродвигателя и электромагнита. Считается она по аналогии с электрической, но с одной принципиальной разницей: сталь ведёт себя нелинейно, и закона Ома в чистом виде здесь нет.

Основные величины

Связь величин:  B = μ₀·μᵣ·H

Аналогия с электрической цепью:

  Электрическая        Магнитная
  E = I·R              F = Φ·R_м        (закон Ома для магнитной цепи)
  ΣI = 0 в узле        ΣΦ = 0 в узле
  ΣE = ΣIR по контуру  ΣF = ΣH·l по контуру

Закон полного тока

  ∮ H·dl = Σ I = I·w

Для цепи из участков с постоянным сечением:

  H₁·l₁ + H₂·l₂ + … + H₀·δ = I·w

δ — длина воздушного зазора, H₀ = B/μ₀ — напряжённость в нём

Сумма падений магнитного напряжения по контуру
равна полному току, охваченному этим контуром.

Кривая намагничивания

Зависимость B(H) имеет три участка: крутой начальный, колено и пологий участок насыщения. После насыщения дальнейший рост тока почти не увеличивает поток — металл «набит» до предела, и работать там бессмысленно.

Рабочую индукцию выбирают на колене кривой — обычно 1,2-1,6 Тл для электротехнической стали. Ниже — недоиспользован материал, выше — резкий рост тока намагничивания и потерь.

Прямая задача: дан поток, найти ток

1. Разбить магнитопровод на участки с постоянным сечением и одинаковым материалом.
2. Для каждого участка найти индукцию: B = Φ/S.
3. По кривой намагничивания определить H для каждого участка.
4. Для воздушного зазора вычислить H₀ = B/μ₀ = B/(4π·10⁻⁷).
5. Сложить магнитные напряжения: Σ H·l.
6. Найти нужный ток: I = Σ(H·l)/w.

Пример: Ш-образный магнитопровод, сталь 1512
  сечение S = 6 см² = 6·10⁻⁴ м²
  длина по стали l_ст = 0,28 м
  зазор δ = 0,5 мм = 5·10⁻⁴ м
  требуемый поток Φ = 9·10⁻⁴ Вб, число витков w = 800

  Индукция: B = 9·10⁻⁴/6·10⁻⁴ = 1,5 Тл
  По кривой для стали 1512 при B = 1,5 Тл:  H_ст ≈ 1000 А/м

  В зазоре: H₀ = 1,5/(4π·10⁻⁷) = 1,194·10⁶ А/м

  Магнитные напряжения:
    сталь: 1000 · 0,28 = 280 А
    зазор: 1,194·10⁶ · 5·10⁻⁴ = 597 А
    сумма: 877 А

  Ток: I = 877/800 = 1,1 А

Обратная задача: дан ток, найти поток

Решается только методом последовательных приближений: задаются потоком, считают требуемую МДС, сравнивают с фактической и корректируют. Аналитически не решается именно из-за нелинейности кривой намагничивания. Обычно достаточно трёх-четырёх итераций, а результат оформляют таблицей приближений.

Потери в стали

  P_ст = P_гист + P_вихр

На гистерезис:      P ~ f · B^n,  n = 1,6…2
На вихревые токи:   P ~ f² · B² · d²

d — толщина листа. Отсюда шихтованный магнитопровод:
разделение на изолированные листы 0,35-0,5 мм уменьшает
вихревые токи в десятки раз.

Удельные потери задают в Вт/кг при B = 1,5 Тл и f = 50 Гц:
для стали 2412 это около 1,3 Вт/кг.

Электромагнит: сила притяжения

  F = B²·S / (2·μ₀)      [Н]

S — площадь полюса, B — индукция в зазоре

Пример: B = 1,0 Тл, S = 10 см² = 10⁻³ м²
  F = 1,0 · 10⁻³ / (2·4π·10⁻⁷) = 398 Н ≈ 40 кгс

Сила растёт как квадрат индукции — вдвое большая индукция
даёт вчетверо большее усилие. Поэтому электромагниты
стараются работать вблизи насыщения.

Частые ошибки

• Для зазора взята проницаемость стали вместо μ₀.
• Длины участков в сантиметрах, сечения в квадратных сантиметрах — всё нужно переводить в метры.
• H для стали посчитан по формуле B/(μ₀μᵣ) с постоянным μᵣ вместо кривой намагничивания.
• Не учтён поток рассеяния — часть потока замыкается мимо рабочего зазора, обычно закладывают 10-20 %.
• Средняя линия магнитопровода проведена по внешнему контуру вместо середины сечения.