Резонанс напряжений и резонанс токов

Условие резонанса, последовательный и параллельный контур, резонансная частота, добротность и полоса пропускания, резонансные кривые и практическое применение.

Резонанс — режим, при котором цепь с индуктивностью и ёмкостью ведёт себя как чисто активная. На нём построена вся радиотехника, и он же становится причиной аварий, когда возникает там, где его не ждали.

Условие резонанса

Реактивная составляющая обращается в ноль:  X_L = X_C

  ωL = 1/(ωC)

Резонансная частота (формула Томсона):

  ω₀ = 1/√(LC)      f₀ = 1/(2π·√(LC))

При резонансе:
  ток совпадает по фазе с напряжением, φ = 0
  cos φ = 1
  реактивная мощность равна нулю
  вся мощность источника активная

Резонанс напряжений

Возникает в последовательном контуре R-L-C. Сопротивление цепи минимально и равно R, поэтому ток достигает максимума.

  Z = R + j(X_L − X_C) = R    при резонансе
  I₀ = U/R  — максимальный ток

Напряжения на реактивных элементах:
  U_L = U_C = I₀·X_L = (U/R)·ωL = Q·U

Добротность контура:
  Q = ωL/R = 1/(ωCR) = ρ/R,   где ρ = √(L/C) — характеристическое сопротивление

При Q = 20 и входных 220 В на катушке будет 4400 В.

Резонанс токов

Возникает в параллельном контуре. Проводимость минимальна, сопротивление максимально, поэтому ток из источника минимален, а в самом контуре циркулирует большой ток.

Условие для идеального контура:  B_L = B_C

  Z_рез = ρ²/R = L/(CR)   — максимально и чисто активно
  I_общий = U/Z_рез       — минимален
  I_L = I_C = Q · I_общий — токи в ветвях больше входного в Q раз

Для контура с потерями в катушке:
  ω₀ = (1/√(LC))·√(1 − R²C/L)

Добротность и полоса пропускания

  Q = ω₀L/R = ρ/R = f₀/Δf

Полоса пропускания — диапазон частот, где ток не падает ниже
0,707 от максимума (спад на 3 дБ):

  Δf = f₀/Q

Пример: f₀ = 1 МГц, Q = 100
  Δf = 10 кГц — контур выделяет одну радиостанцию,
  не пропуская соседние.

Чем выше добротность, тем острее резонансная кривая
и тем избирательнее контур.

Добротность — это отношение запасённой в контуре энергии к теряемой за период. Реальные значения: 50-300 для контуров на катушках, тысячи для кварцевых резонаторов, десятки тысяч для сверхпроводящих.

Расчёт элементов контура

Задача: контур на f₀ = 465 кГц с добротностью Q = 100
при имеющейся катушке L = 200 мкГн

  C = 1/(4π²·f₀²·L) = 1/(4·9,87·(465·10³)²·200·10⁻⁶)
    = 586·10⁻¹² Ф = 586 пФ

  ρ = √(L/C) = √(200·10⁻⁶/586·10⁻¹²) = 584 Ом
  R = ρ/Q = 584/100 = 5,84 Ом  — допустимое сопротивление потерь

  Полоса: Δf = 465/100 = 4,65 кГц

Где встречается на практике

• Настройка радиоприёмника: переменный конденсатор меняет f₀ контура, выделяя нужную станцию.
• Компенсация реактивной мощности: конденсаторная батарея приближает цепь к резонансу, поднимая cos φ.
• Индукционный нагрев и сварка: на резонансе в контуре циркулирует большой ток при малом потреблении от источника.
• Фильтры: последовательный контур пропускает свою частоту, параллельный — задерживает.
• Беспроводная зарядка: передающий и приёмный контуры настроены на одну частоту.