Трансформаторы: принцип работы и расчёт

Принцип работы трансформатора, коэффициент трансформации, режимы холостого хода и короткого замыкания, потери и КПД, расчёт мощности и подбор сердечника.

Трансформатор — простейшая электрическая машина: две обмотки на общем магнитопроводе и никаких вращающихся частей. При этом расчёты по нему входят в курсовые по электрическим машинам, электроснабжению и источникам питания.

Принцип работы

Переменный ток первичной обмотки создаёт переменный магнитный поток в сердечнике. Поток пронизывает вторичную обмотку и индуцирует в ней ЭДС. Постоянный ток трансформатор не преобразует — поток должен меняться.

Коэффициент трансформации:

  k = w₁/w₂ = U₁/U₂ ≈ I₂/I₁

k > 1 — понижающий, k < 1 — повышающий

ЭДС обмотки:
  E = 4,44 · f · w · Φ_max = 4,44 · f · w · B_max · S

Мощность передаётся без изменения (в идеале):
  U₁·I₁ = U₂·I₂

Схема замещения и опыты

Опыт холостого хода:
  P₀ ≈ P_ст (потери в стали, от перемагничивания и вихревых токов)
  I₀ = (2…10) % от I_ном
  k = U₁/U₂₀

Опыт короткого замыкания:
  P_к ≈ P_обм = I₁²·R_к  (потери в меди)
  u_к = U_к/U_ном · 100 % = 4…10 % для силовых трансформаторов

Потери в стали не зависят от нагрузки, потери в меди растут как квадрат тока.

КПД и оптимальная загрузка

  η = P₂ / (P₂ + P_ст + β²·P_к)

  P₂ = β · S_ном · cos φ₂,   β = I/I_ном — коэффициент загрузки

Максимум КПД достигается при равенстве потерь:

  P_ст = β²·P_к   →   β_опт = √(P_ст/P_к)

Обычно β_опт = 0,5…0,7 — трансформаторы проектируют
так, чтобы максимум КПД приходился на типичную,
а не на полную нагрузку.

Пример: S = 250 кВ·А, P₀ = 0,74 кВт, P_к = 3,7 кВт, cos φ = 0,8

  β_опт = √(0,74/3,7) = 0,45

  При β = 1,0:  η = 200/(200 + 0,74 + 3,7) = 0,978
  При β = 0,45: η = 90/(90 + 0,74 + 0,75) = 0,984
  При β = 0,1:  η = 20/(20 + 0,74 + 0,037) = 0,963

Вывод: недогруженный трансформатор теряет КПД
из-за постоянных потерь в стали.

Трёхфазные трансформаторы

• Соединения обмоток обозначают буквами: Y — звезда, Δ — треугольник, Zn — зигзаг с нулём. Запись Y/Yн-0 читается как звезда на первичной, звезда с нулём на вторичной, нулевая группа сдвига.
• Схема Δ/Yн — самая распространённая для распределительных подстанций: даёт нулевой провод для однофазных потребителей.
• Группа соединений определяет угол сдвига между первичным и вторичным напряжением; для параллельной работы группы обязаны совпадать.
• Параллельная работа требует также равных коэффициентов трансформации и близких напряжений короткого замыкания — иначе возникнут уравнительные токи.

Расчёт трансформатора малой мощности

1. Определить мощность вторичной обмотки: P₂ = U₂·I₂, задать КПД 0,85-0,95 в зависимости от габаритов.
2. Найти габаритную мощность и по ней требуемое произведение площадей окна и сердечника.
3. Выбрать магнитопровод по сортаменту, определить площадь поперечного сечения S.
4. Вычислить число витков на вольт: w₀ = 1/(4,44·f·B_max·S), при B_max = 1,2-1,5 Тл для электротехнической стали.
5. Найти числа витков обмоток: w = w₀ · U.
6. Подобрать диаметр провода по плотности тока 2-3 А/мм².
7. Проверить заполнение окна магнитопровода: коэффициент заполнения не выше 0,4.
8. Оценить нагрев: превышение температуры не должно превышать класс изоляции.

Пример: нужен трансформатор 220 → 24 В, 2 А

  P₂ = 24 · 2 = 48 Вт, при η = 0,9 → P₁ = 53 Вт
  Ш-образный сердечник с S = 6 см² = 6·10⁻⁴ м²

  Витков на вольт: w₀ = 1/(4,44·50·1,3·6·10⁻⁴) = 5,8 витка/В

  Первичная: 220 · 5,8 = 1276 витков
  Вторичная: 24 · 5,8 · 1,05 = 146 витков (5 % на падение)

  Токи: I₁ = 53/220 = 0,24 А → провод 0,4 мм
        I₂ = 2 А → провод 1,1 мм

Автотрансформатор

У автотрансформатора одна обмотка с отводом: часть витков общая для входа и выхода. Это даёт экономию меди и стали, но лишает гальванической развязки — вход и выход электрически связаны. Поэтому автотрансформаторы применяют для регулирования напряжения, но не там, где нужна изоляция от сети по требованиям безопасности.