Дифференциальные уравнения первого порядка
Как определить тип ДУ и решить его: разделяющиеся переменные, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. С алгоритмом распознавания.
90% ошибок в этой теме — не в интегрировании, а в неверном определении типа уравнения. Поэтому начинайте с распознавания, а не с попыток что-то проинтегрировать.
1. Разделяющиеся переменные
Вид: y' = f(x)·g(y) или M(x)dx + N(y)dy = 0 Решение: dy/g(y) = f(x)dx, интегрируем обе части
Пример: y' = xy → dy/y = x dx → ln|y| = x²/2 + C → y = C·e^(x²/2)
2. Однородные
Вид: y' = f(y/x) — правая часть зависит только от отношения y/x Замена: y = u·x, тогда y' = u'x + u → сводится к разделяющимся переменным
Проверка однородности: подставьте x → tx, y → ty. Если уравнение не изменилось — оно однородное.
3. Линейные
Вид: y' + p(x)·y = q(x) — y и y' входят в первой степени, без произведений
Два способа: метод Бернулли (замена y = u·v) и метод вариации произвольной постоянной (Лагранжа). В контрольных чаще требуют Бернулли.
- Подставляем y = u·v, y' = u'v + uv'.
- Группируем: u'v + u(v' + p·v) = q.
- Подбираем v так, чтобы скобка обнулилась: v' + p·v = 0 — уравнение с разделяющимися переменными.
- Подставляем найденное v и находим u из u'v = q.
- Ответ: y = u·v.
4. Уравнение Бернулли
Вид: y' + p(x)·y = q(x)·y^n, n ≠ 0, 1 Решается той же заменой y = u·v либо заменой z = y^(1−n), приводящей к линейному
5. В полных дифференциалах
Вид: M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 при условии ∂M/∂y = ∂N/∂x Решение: ищем F(x,y) такую, что ∂F/∂x = M, ∂F/∂y = N. Ответ: F(x,y) = C
Алгоритм распознавания
| Признак | Тип | Приём |
|---|---|---|
| Переменные раскладываются по разным частям | Разделяющиеся | Прямое интегрирование |
| Правая часть зависит от y/x | Однородное | Замена y = ux |
| y' + p(x)y = q(x) | Линейное | y = uv или вариация постоянной |
| Справа есть y в степени n | Бернулли | y = uv или z = y^(1−n) |
| Симметричный вид с проверкой равенства частных производных | Полный дифференциал | Восстановление F(x,y) |
Задача Коши
Если дано начальное условие y(x₀) = y₀ — сначала находят общее решение с константой C, затем подставляют условие и находят конкретное C. Частное решение записывают уже без C.
Частые вопросы
Куда девается модуль после ln|y|?
При потенцировании он поглощается константой: |y| = e^C·e^(...) → y = C·e^(...), где C теперь может быть любого знака. Так записывают в большинстве учебников.
Как проверить решение?
Продифференцировать полученный ответ и подставить в исходное уравнение. Это занимает минуту и гарантирует, что баллы не потеряны на алгебре.