Теория вероятностей: формулы и типовые задачи
Классическая вероятность, комбинаторика, теоремы сложения и умножения, формула полной вероятности и Байеса, схема Бернулли — с разбором задач.
Классическое определение
P(A) = m / n, m — число благоприятных исходов, n — общее число равновозможных исходов
Комбинаторика — чем считать m и n
| Что считаем | Формула | Когда |
|---|---|---|
| Перестановки | Pn = n! | Все элементы, порядок важен |
| Размещения | A(n,k) = n!/(n−k)! | Выбираем k из n, порядок важен |
| Сочетания | C(n,k) = n!/(k!(n−k)!) | Выбираем k из n, порядок не важен |
| С повторениями | n^k | k раз выбираем из n, элементы возвращаются |
Теоремы сложения и умножения
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB) — в общем случае P(A + B) = P(A) + P(B) — если события несовместны P(AB) = P(A)·P(B|A) — в общем случае P(AB) = P(A)·P(B) — если события независимы P(Ā) = 1 − P(A) — противоположное событие
Приём «хотя бы один»: считать напрямую долго, поэтому считают вероятность противоположного события — «ни одного» — и вычитают из единицы.
Формула полной вероятности
P(A) = Σ P(H_i) · P(A|H_i), где H_i — полная группа несовместных гипотез
Узнаётся по формулировке: объект берут наугад из одной из нескольких партий/станков/ящиков, и нужна вероятность события без уточнения, откуда он.
Формула Байеса
P(H_i|A) = P(H_i)·P(A|H_i) / P(A)
Применяется, когда событие уже произошло и нужно переоценить вероятность гипотезы: «деталь оказалась бракованной — какова вероятность, что она с первого станка». Знаменатель — это полная вероятность из предыдущего пункта.
Схема Бернулли
P_n(k) = C(n,k) · p^k · q^(n−k), q = 1 − p
- Условия применения: n независимых испытаний, в каждом два исхода, p постоянна.
- Наивероятнейшее число успехов: np − q ≤ k₀ ≤ np + p.
- При больших n и не малых p используют локальную и интегральную теоремы Муавра-Лапласа.
- При больших n и малых p (np < 10) — формулу Пуассона: P = λ^k·e^(−λ)/k!, где λ = np.
Случайные величины
Дискретная:
M(X) = Σ x_i·p_i
D(X) = M(X²) − [M(X)]²
σ(X) = √D(X)
Свойства: M(C) = C, M(CX) = C·M(X), M(X+Y) = M(X) + M(Y)
D(C) = 0, D(CX) = C²·D(X)
Для непрерывной величины суммы заменяются интегралами с плотностью f(x), а функция распределения F(x) = P(X < x) неубывающая, от 0 до 1.
Частые вопросы
Как отличить формулу Байеса от полной вероятности?
В полной вероятности спрашивают про событие A. В Байесе событие A уже произошло и спрашивают про гипотезу — «какова вероятность, что взяли из первой партии».
Когда события независимы?
Когда наступление одного не меняет вероятность другого. Формально: P(B|A) = P(B). Извлечение с возвращением даёт независимость, без возвращения — нет.