Матрицы и определители

Операции над матрицами, определители 2-го и 3-го порядка, свойства определителя, ранг и обратная матрица — с примерами вычислений.

Действия над матрицами

• Сложение — поэлементно, только для матриц одинакового размера.
• Умножение на число — каждый элемент умножается на это число.
• Умножение матриц — строка на столбец. Возможно, если число столбцов первой равно числу строк второй: A(m×n) · B(n×k) = C(m×k).
• Транспонирование — строки становятся столбцами.

c_ij = a_i1·b_1j + a_i2·b_2j + ... + a_in·b_nj

Определитель 2-го порядка

| a  b |
| c  d |  =  a·d − b·c

Определитель 3-го порядка

Правило Саррюса (треугольников): три произведения со знаком плюс — главная диагональ и два треугольника, параллельных ей; три со знаком минус — побочная диагональ и её треугольники.

det = a11·a22·a33 + a12·a23·a31 + a13·a21·a32
    − a13·a22·a31 − a11·a23·a32 − a12·a21·a33

Для порядка выше третьего правило треугольников не работает — раскладывают по строке или столбцу (по алгебраическим дополнениям) либо приводят к треугольному виду.

det A = Σ a_ij · A_ij,  где A_ij = (−1)^(i+j) · M_ij  — алгебраическое дополнение,
M_ij — минор, определитель матрицы без i-й строки и j-го столбца

Свойства определителя

• Есть нулевая строка или столбец → определитель равен нулю.
• Две одинаковые или пропорциональные строки → определитель равен нулю.
• Перестановка двух строк меняет знак определителя.
• Общий множитель строки можно вынести за знак определителя.
• Прибавление к строке другой строки, умноженной на число, определитель не меняет — это и есть рабочий приём приведения к треугольному виду.
• det(A·B) = det A · det B; det(Aᵀ) = det A.

Обратная матрица

Существует, только если det A ≠ 0 (матрица невырожденная).

A⁻¹ = (1/det A) · Cᵀ,
где C — матрица алгебраических дополнений (союзная матрица)

1. Вычислить det A и убедиться, что он не равен нулю.
2. Найти все алгебраические дополнения A_ij с учётом знаков (−1)^(i+j).
3. Составить матрицу из них и транспонировать.
4. Разделить каждый элемент на det A.
5. Проверить: A · A⁻¹ должно дать единичную матрицу.

Ранг матрицы

Ранг — наибольший порядок ненулевого минора, то есть число линейно независимых строк. Практически считается методом Гаусса: приводим матрицу к ступенчатому виду и считаем ненулевые строки. Ранг нужен в теореме Кронекера-Капелли для анализа совместности СЛАУ.