Решение СЛАУ: методы Гаусса, Крамера и матричный

Три способа решения систем линейных уравнений, теорема Кронекера-Капелли, случаи бесконечного числа решений и несовместности.

Сначала — совместна ли система

Теорема Кронекера-Капелли: система совместна тогда и только тогда, когда ранг основной матрицы равен рангу расширенной.

Метод Гаусса — универсальный

Прямой ход: элементарными преобразованиями строк приводим расширенную матрицу к ступенчатому виду. Обратный ход: из последнего уравнения выражаем последнюю переменную и подставляем вверх.

Разрешённые преобразования:
1) перестановка строк;
2) умножение строки на число ≠ 0;
3) прибавление к строке другой строки, умноженной на число.

| 2  1 −1 |  8 |        | 2  1 −1 |  8 |
| −3 −1  2 | −11| →  ... → | 0  0.5 0.5| 1 |
| −2  1  2 | −3 |        | 0  0   −1 | −1 |

Обратный ход: z = 1;  0.5y + 0.5·1 = 1 → y = 1;  2x + 1 − 1 = 8 → x = 3

Метод Крамера

x_i = Δ_i / Δ,
где Δ = det A, а Δ_i — определитель, в котором i-й столбец заменён столбцом свободных членов

• Δ ≠ 0 → единственное решение.
• Δ = 0 и хотя бы один Δ_i ≠ 0 → система несовместна.
• Δ = 0 и все Δ_i = 0 → бесконечно много решений, метод Крамера бессилен, переходим к Гауссу.

Метод удобен для систем 2×2 и 3×3. Для 4×4 и выше он неоправданно трудоёмок: нужно посчитать пять определителей вручную.

Матричный метод

A · X = B   →   X = A⁻¹ · B

Требует существования обратной матрицы. Удобен, когда нужно решить несколько систем с одной и той же матрицей A, но разными правыми частями: A⁻¹ считается один раз.

Общее решение при бесконечном числе решений

Базисные переменные (те, что соответствуют ведущим элементам ступенчатой матрицы) выражают через свободные. Ответ записывается в виде общего решения, а подставив конкретные значения свободных переменных, получают частные решения.

Пример записи: x1 = 2 − 3t,  x2 = t,  x3 = 1 + t,  t ∈ R

Проверка

Подставьте найденные значения во все исходные уравнения — не в преобразованные. Именно там проявятся арифметические ошибки прямого хода, за которые снимают баллы.