Пределы: методы вычисления
Раскрытие неопределённостей 0/0 и ∞/∞, замечательные пределы, правило Лопиталя, эквивалентные бесконечно малые — алгоритм выбора метода.
Первый шаг всегда одинаковый: подставьте предельное значение. Если получилось число — это и есть ответ. Метод нужен только тогда, когда возникла неопределённость: 0/0, ∞/∞, ∞−∞, 0·∞, 1^∞, 0⁰, ∞⁰.
Многочлены при x → ∞
Делим числитель и знаменатель на старшую степень. Практический вывод: смотрим только на старшие степени.
lim (3x³ + 2x) / (5x³ − x²) = 3/5 при x → ∞
- Степень числителя = степени знаменателя → отношение старших коэффициентов.
- Степень числителя меньше → предел равен 0.
- Степень числителя больше → предел равен ∞.
Неопределённость 0/0 в дробях
Разложите на множители и сократите общий множитель — он и создаёт неопределённость.
lim (x² − 4)/(x − 2) = lim (x−2)(x+2)/(x−2) = lim (x+2) = 4 при x → 2
Если есть корни — домножьте на сопряжённое выражение.
lim (√(x+1) − 1)/x = lim x / (x(√(x+1) + 1)) = 1/2 при x → 0
Замечательные пределы
Первый: lim sin x / x = 1 (x → 0) Второй: lim (1 + 1/x)^x = e (x → ∞), lim (1 + x)^(1/x) = e (x → 0)
Первый замечательный работает для любого аргумента, стремящегося к нулю: sin(5x)/(5x) → 1. Поэтому sin(5x)/x = 5 · sin(5x)/(5x) → 5.
Эквивалентные бесконечно малые (x → 0)
| Выражение | Эквивалентно |
|---|---|
| sin x, tg x, arcsin x, arctg x | x |
| 1 − cos x | x²/2 |
| ln(1 + x) | x |
| e^x − 1 | x |
| a^x − 1 | x·ln a |
| (1 + x)^a − 1 | a·x |
Правило Лопиталя
Для неопределённостей 0/0 и ∞/∞ предел отношения функций равен пределу отношения их производных, если последний существует. Остальные неопределённости сначала приводят к этим двум.
lim (e^x − 1)/x = lim e^x / 1 = 1 при x → 0
Неопределённость 1^∞
Схема: обозначить выражение через второй замечательный предел или прологарифмировать.
lim (1 + 3/x)^(2x) = e^(3·2) = e⁶ при x → ∞ Общее правило: lim (1 + α)^β = e^(lim α·β), если α → 0, β → ∞
Алгоритм выбора метода
- Подставили — получили число? Ответ найден.
- Дробь из многочленов при x → ∞ — сравниваем степени.
- 0/0 с многочленами — раскладываем на множители.
- Есть корни — домножаем на сопряжённое.
- Есть тригонометрия, логарифмы, экспоненты — эквивалентные или замечательные пределы.
- Ничего не помогло — правило Лопиталя.
- Вид 1^∞ — второй замечательный предел.
Частые вопросы
Можно ли применять Лопиталя несколько раз?
Да, пока сохраняется неопределённость 0/0 или ∞/∞. Но если после дифференцирования выражение усложняется — метод выбран неудачно.
Почему преподаватели требуют решать без Лопиталя?
Потому что тема учит работать с эквивалентностями и разложениями. Обычно требуют оба способа: решение по теме и проверку Лопиталем.