Интегралы: неопределённый и определённый
Таблица интегралов, методы интегрирования: замена переменной, по частям, разложение рациональной дроби. Формула Ньютона-Лейбница и вычисление площадей и объёмов.
Интегрирование — операция, обратная дифференцированию. Если производная отвечает на вопрос «с какой скоростью меняется», то интеграл — «сколько накопилось»: путь по скорости, работа по силе, масса по плотности.
∫ f(x) dx = F(x) + C, где F'(x) = f(x) Постоянная C обязательна: производная любой константы равна нулю, поэтому первообразных бесконечно много.
Таблица интегралов
| f(x) | ∫ f(x) dx | f(x) | ∫ f(x) dx |
|---|---|---|---|
| xⁿ (n ≠ −1) | xⁿ⁺¹/(n+1) + C | sin x | −cos x + C |
| 1/x | ln|x| + C | cos x | sin x + C |
| eˣ | eˣ + C | 1/cos²x | tg x + C |
| aˣ | aˣ/ln a + C | 1/sin²x | −ctg x + C |
| 1/√(1−x²) | arcsin x + C | 1/(1+x²) | arctg x + C |
| 1/√(x²±a²) | ln|x + √(x²±a²)| + C | 1/(x²−a²) | (1/2a)·ln|(x−a)/(x+a)| + C |
Замена переменной
∫ f(g(x))·g'(x) dx = ∫ f(t) dt, где t = g(x) Пример: ∫ 2x·cos(x²) dx t = x², dt = 2x dx = ∫ cos t dt = sin t + C = sin(x²) + C Пример: ∫ dx/(3x + 5) t = 3x + 5, dt = 3 dx, dx = dt/3 = (1/3)·∫ dt/t = (1/3)·ln|3x + 5| + C
Признак, что нужна замена: под интегралом видна функция и рядом — с точностью до множителя — её производная. После замены не забудьте вернуться к исходной переменной.
Интегрирование по частям
∫ u dv = u·v − ∫ v du Пример: ∫ x·eˣ dx u = x, du = dx dv = eˣ dx, v = eˣ = x·eˣ − ∫ eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C
Что брать за u, подсказывает правило приоритета: логарифмы, обратные тригонометрические, степенные, показательные, тригонометрические. Функция из более раннего класса становится u — тогда du упрощает интеграл.
- ∫ x·sin x dx, ∫ x·eˣ dx, ∫ x²·cos x dx — за u берут степень, приём применяют столько раз, какова степень.
- ∫ ln x dx — u = ln x, dv = dx; получается x·ln x − x + C.
- ∫ eˣ·sin x dx — по частям дважды, после чего исходный интеграл выражается сам через себя и переносится в левую часть.
Рациональные дроби
Разложение на простейшие дроби: (3x + 5) / [(x − 1)(x + 2)] = A/(x − 1) + B/(x + 2) 3x + 5 = A(x + 2) + B(x − 1) x = 1: 8 = 3A → A = 8/3 x = −2: −1 = −3B → B = 1/3 ∫ = (8/3)·ln|x − 1| + (1/3)·ln|x + 2| + C
Если степень числителя не меньше степени знаменателя, сначала делят уголком и выделяют целую часть — иначе разложение не построить.
Определённый интеграл
Формула Ньютона-Лейбница: ∫[a..b] f(x) dx = F(b) − F(a) При замене переменной пересчитывают и пределы: ∫[0..2] 2x·cos(x²) dx, t = x² x = 0 → t = 0; x = 2 → t = 4 = ∫[0..4] cos t dt = sin 4 − sin 0 = sin 4
| Свойство | Запись |
|---|---|
| Перестановка пределов | ∫[a..b] = −∫[b..a] |
| Разбиение отрезка | ∫[a..b] = ∫[a..c] + ∫[c..b] |
| Совпадающие пределы | ∫[a..a] f dx = 0 |
| Нечётная функция | ∫[−a..a] f dx = 0 |
| Чётная функция | ∫[−a..a] f dx = 2·∫[0..a] f dx |
Геометрические приложения
Площадь под кривой: S = ∫[a..b] f(x) dx Площадь между кривыми: S = ∫[a..b] ( f(x) − g(x) ) dx, f выше g Объём тела вращения (Ox): V = π·∫[a..b] f²(x) dx Длина дуги: L = ∫[a..b] √(1 + (f'(x))²) dx
Когда интеграл не берётся
Первообразные функций e^(−x²), sin(x)/x, 1/ln x не выражаются через элементарные функции. Такие интегралы вычисляют численно — методом трапеций, Симпсона или Монте-Карло. В курсовой по численным методам это как раз основное содержание практической части.
Частые вопросы
Зачем нужна постоянная C, если в определённом интеграле она сокращается?
В определённом интеграле она действительно исчезает при вычитании F(b) − F(a). Но неопределённый интеграл — это множество всех первообразных, и без C ответ описывает лишь одну из них.
Как проверить, что интеграл найден верно?
Продифференцировать результат — должна получиться подынтегральная функция. Это быстрее, чем перепроверять само интегрирование, и работает всегда.
Что делать, если под интегралом произведение и замена не подходит?
Пробуйте интегрирование по частям. Если и оно не помогает, ищите тригонометрические преобразования или универсальную подстановку t = tg(x/2) для тригонометрических дробей.