Комплексные числа: формы записи и действия
Три формы записи комплексного числа и переходы между ними, действия, формула Муавра, извлечение корней, применение в расчёте электрических цепей.
Комплексные числа кажутся абстракцией ровно до момента, когда начинается ТОЭ: там весь расчёт цепей переменного тока держится на них. Разберём три формы записи и переходы между ними — этого хватает для 90 % задач.
Три формы записи
Алгебраическая: z = a + jb a = Re z — вещественная часть, b = Im z — мнимая В математике пишут i, в электротехнике j — чтобы не путать с током Тригонометрическая: z = r·(cos φ + j·sin φ) Показательная: z = r·e^(jφ) Модуль: r = |z| = √(a² + b²) Аргумент: φ = arctg(b/a) с поправкой на четверть
| Четверть | Знаки a и b | Аргумент |
|---|---|---|
| I | a > 0, b > 0 | φ = arctg(b/a) |
| II | a < 0, b > 0 | φ = 180° + arctg(b/a) |
| III | a < 0, b < 0 | φ = −180° + arctg(b/a) |
| IV | a > 0, b < 0 | φ = arctg(b/a), отрицательный |
Переходы между формами
Из алгебраической в показательную: r = √(a² + b²), φ = arctg(b/a) с учётом четверти Из показательной в алгебраическую: a = r·cos φ, b = r·sin φ Пример: z = 3 + j4 r = √(9 + 16) = 5 φ = arctg(4/3) = 53,13° z = 5·e^(j53,13°) Обратно: z = 10·e^(−j30°) a = 10·cos(−30°) = 8,66 b = 10·sin(−30°) = −5 z = 8,66 − j5
Действия
Сложение и вычитание — только в алгебраической форме: z₁ ± z₂ = (a₁ ± a₂) + j(b₁ ± b₂) Умножение и деление — удобнее в показательной: z₁·z₂ = r₁·r₂·e^(j(φ₁+φ₂)) модули умножаются, аргументы складываются z₁/z₂ = (r₁/r₂)·e^(j(φ₁−φ₂)) В алгебраической форме умножение: (a₁ + jb₁)(a₂ + jb₂) = (a₁a₂ − b₁b₂) + j(a₁b₂ + a₂b₁) Деление — домножением на сопряжённое: z₁/z₂ = z₁·z̄₂ / |z₂|²
Практическое правило расчёта: складывать в алгебраической форме, умножать и делить — в показательной. Переводить туда-обратно быстрее, чем считать произведение через раскрытие скобок, особенно когда чисел много.
Сопряжённое число: z̄ = a − jb, |z|² = z·z̄ Степени мнимой единицы: j¹ = j, j² = −1, j³ = −j, j⁴ = 1 и дальше по циклу 1/j = −j
Формула Муавра и корни
Возведение в степень: zⁿ = rⁿ·(cos nφ + j·sin nφ) = rⁿ·e^(jnφ) Извлечение корня даёт n различных значений: ⁿ√z = ⁿ√r · e^(j(φ + 360°k)/n), k = 0, 1, …, n−1 Все корни лежат на окружности радиуса ⁿ√r и делят её на n равных частей. Пример: ∛(8·e^(j60°)) модуль ∛8 = 2 аргументы: 20°, 140°, 260° корни: 2e^(j20°), 2e^(j140°), 2e^(j260°)
Зачем это в электротехнике
Синусоидальный ток описывается амплитудой и фазой — ровно двумя числами, как комплексное число модулем и аргументом. Такая замена превращает дифференциальные уравнения цепи в алгебраические.
Комплексное сопротивление: резистор: Z_R = R катушка: Z_L = jωL (ток отстаёт на 90°) конденсатор: Z_C = −j/(ωC) (ток опережает на 90°) Полное: Z = R + j(X_L − X_C) = |Z|·e^(jφ) |Z| = √(R² + X²), φ = arctg(X/R) Закон Ома в комплексной форме: İ = U̇ / Z
Пример: R = 30 Ом, X_L = 60 Ом, X_C = 20 Ом, U = 220 В Z = 30 + j(60 − 20) = 30 + j40 |Z| = √(900 + 1600) = 50 Ом φ = arctg(40/30) = 53,1° — цепь индуктивная, ток отстаёт I = 220/50 = 4,4 А İ = 4,4·e^(−j53,1°) А P = U·I·cos φ = 220·4,4·0,6 = 581 Вт
Типичные ошибки
- Аргумент посчитан без учёта четверти — ответ отличается на 180°.
- Углы в градусах подставлены в функции, ожидающие радианы.
- При делении забыто сопряжённое, и в знаменателе осталась мнимая часть.
- Модули складывают вместо векторного сложения: |z₁ + z₂| ≠ |z₁| + |z₂|.
- В показательной форме пытаются складывать — так нельзя, сначала переведите в алгебраическую.
Частые вопросы
Почему в электротехнике j, а не i?
Буквой i обозначают мгновенное значение тока, и совпадение обозначений порождало бы путаницу в каждой формуле. Договорились использовать j — смысл тот же.
Что означает умножение на j геометрически?
Поворот вектора на 90° против часовой стрелки без изменения длины. Умножение на −j — поворот на 90° по часовой. Отсюда и сдвиги фаз в реактивных элементах.
Можно ли решать цепи без комплексных чисел?
Можно — через дифференциальные уравнения или векторные диаграммы, но объём вычислений вырастает многократно. Символический метод и придуман, чтобы этого избежать.