Кратные и криволинейные интегралы

Двойной и тройной интеграл, расстановка пределов интегрирования, полярные и цилиндрические координаты, якобиан, криволинейные интегралы и формула Грина.

Кратные интегралы дают массу тела по плотности, площадь фигуры, объём, координаты центра тяжести и моменты инерции — то есть всё, что нужно в сопромате и теоретической механике. Основная сложность здесь не в интегрировании, а в расстановке пределов.

Двойной интеграл

  ∬_D f(x, y) dx dy

Сведение к повторному для области, ограниченной снизу y = y₁(x),
сверху y = y₂(x), а по x — отрезком [a, b]:

  ∬_D f dx dy = ∫[a..b] dx ∫[y₁(x)..y₂(x)] f(x, y) dy

Внутренние пределы могут зависеть от внешней переменной,
внешние — только числа. Наоборот не бывает.

Порядок действий

1. Изобразить область интегрирования и найти точки пересечения границ.
2. Выбрать порядок: сначала по y при фиксированном x, либо наоборот. Берут тот, где границы описываются проще.
3. Внутренние пределы — функции от внешней переменной: снизу и сверху по выбранному направлению.
4. Внешние пределы — числовой отрезок проекции области на ось.
5. Вычислить внутренний интеграл, считая вторую переменную постоянной.
6. Вычислить внешний интеграл.

Пример: область ограничена y = x² и y = 2x

  Пересечение: x² = 2x → x = 0 и x = 2
  При x от 0 до 2 нижняя граница y = x², верхняя y = 2x

  S = ∫[0..2] dx ∫[x²..2x] dy = ∫[0..2] (2x − x²) dx
    = [x² − x³/3]₀² = 4 − 8/3 = 4/3

Полярные координаты

  x = ρ·cos φ,  y = ρ·sin φ,  x² + y² = ρ²

  dx dy = ρ · dρ dφ        ← якобиан перехода равен ρ

  ∬_D f(x,y) dx dy = ∬ f(ρcos φ, ρsin φ)·ρ dρ dφ

Пример: масса круга радиуса R с плотностью μ = k·(x² + y²)

  m = ∫[0..2π] dφ ∫[0..R] k·ρ²·ρ dρ = k·2π·R⁴/4 = π·k·R⁴/2

Множитель ρ — не украшение: элемент площади в полярных координатах представляет собой не квадратик, а сектор, площадь которого растёт с удалением от центра. Забытый якобиан — самая частая ошибка при замене переменных.

Тройной интеграл

  ∭_V f(x, y, z) dx dy dz

Цилиндрические координаты:
  x = ρcos φ, y = ρsin φ, z = z
  dV = ρ · dρ dφ dz

Сферические координаты:
  x = r·sin θ·cos φ, y = r·sin θ·sin φ, z = r·cos θ
  dV = r²·sin θ · dr dθ dφ

Цилиндрические берут для тел вращения,
сферические — для шаров и их частей.

Приложения

Именно последняя формула связывает высшую математику с сопроматом: осевые и полярные моменты инерции сечений, которые вы подставляете в расчёт на изгиб и кручение, получены двойным интегрированием.

Криволинейные интегралы

Первого рода — по длине дуги, для массы кривой:

  ∫_L f(x, y) dl,   dl = √(1 + (y')²) dx

Второго рода — по координатам, для работы силы вдоль пути:

  ∫_L P dx + Q dy

От направления обхода интеграл первого рода не зависит,
второго рода — меняет знак.

Формула Грина связывает контурный интеграл с двойным:

  ∮_L P dx + Q dy = ∬_D ( ∂Q/∂x − ∂P/∂y ) dx dy

Обход контура — против часовой стрелки.

Следствие: если ∂Q/∂x = ∂P/∂y, интеграл по замкнутому контуру равен нулю,
а работа поля не зависит от пути — поле потенциально.

Частые ошибки

• Забыт якобиан при переходе к полярным или сферическим координатам.
• Внешние пределы зависят от переменной — так быть не может.
• Область не нарисована, и пределы взяты «на глаз».
• При смене порядка интегрирования пределы оставлены прежними: их нужно пересчитывать заново по рисунку.
• В сферических координатах потерян множитель sin θ.