Логарифмы и логарифмические уравнения

Определение логарифма, все свойства, переход к новому основанию, методы решения логарифмических уравнений и неравенств, область допустимых значений.

Логарифм — это показатель степени. Всё остальное следует из этого определения, включая каждое свойство, которое обычно заучивают наизусть.

log_a b = c   ⟺   a^c = b

При a > 0, a ≠ 1, b > 0

Читается: логарифм b по основанию a — это степень,
в которую надо возвести a, чтобы получить b

log₂ 8 = 3, потому что 2³ = 8

Свойства

log_a 1 = 0                 a⁰ = 1
log_a a = 1                 a¹ = a
log_a (x·y) = log_a x + log_a y
log_a (x/y) = log_a x − log_a y
log_a (x^n) = n · log_a x
log_(a^n) x = (1/n) · log_a x

Основное логарифмическое тождество:
a^(log_a b) = b

Переход к новому основанию:
log_a b = log_c b / log_c a

Следствие:  log_a b = 1 / log_b a

Специальные обозначения

• lg x — десятичный логарифм, основание 10.
• ln x — натуральный логарифм, основание e ≈ 2,718.
• log₂ x — двоичный, используется в теории информации и оценке сложности алгоритмов.

Область допустимых значений

Перед решением любого логарифмического уравнения выписывают ОДЗ: подлогарифмическое выражение строго больше нуля, основание положительно и не равно единице. Забытое ОДЗ — самая частая причина потери баллов: корень формально находится, но не подходит.

Для log_(f(x)) g(x):

g(x) > 0
f(x) > 0
f(x) ≠ 1

Методы решения уравнений

1. По определению: log_a f(x) = b → f(x) = a^b.
2. Потенцирование: если log_a f = log_a g при одинаковом основании, то f = g с учётом ОДЗ.
3. Замена переменной: при log²x − 3·log x + 2 = 0 положить t = log x и решить квадратное уравнение.
4. Приведение к одному основанию через формулу перехода — когда в уравнении логарифмы с разными основаниями.
5. Логарифмирование обеих частей — для уравнений вида a^f(x) = b^g(x).

Пример замены:
lg²x − 3·lg x + 2 = 0

Пусть t = lg x:
t² − 3t + 2 = 0  →  t₁ = 1, t₂ = 2

Обратная замена:
lg x = 1  →  x = 10
lg x = 2  →  x = 100

Оба корня удовлетворяют ОДЗ (x > 0). Ответ: 10 и 100

Логарифмические неравенства

log_a f(x) > log_a g(x)

При a > 1:      f(x) > g(x)   — знак сохраняется
При 0 < a < 1:  f(x) < g(x)   — знак меняется!

Плюс всегда: f(x) > 0 и g(x) > 0

Смена знака при основании меньше единицы — второй по частоте источник ошибок после ОДЗ. Логарифмическая функция при таком основании убывает, поэтому неравенство переворачивается.

Где встречается в технических дисциплинах

• Децибелы: уровень звука и усиление считаются в логарифмической шкале.
• ЛАЧХ в теории управления строится в логарифмических координатах.
• Оценка сложности алгоритмов: log₂ n появляется при делении задачи пополам.
• Энтропия в теории информации: H = −Σ p·log₂ p.
• Кинетика и радиоактивный распад: время полураспада выводится через натуральный логарифм.