Ряды: сходимость, Тейлор, Фурье

Признаки сходимости числовых рядов, знакочередующиеся ряды, степенные ряды и радиус сходимости, разложение по Тейлору и Маклорену, ряд Фурье.

Ряд — сумма бесконечного числа слагаемых. Главный вопрос: сходится ли она к конечному числу. Ответ дают признаки сходимости, и выбор подходящего признака — половина решения задачи.

Ряд Σ aₙ сходится, если существует конечный предел частичных сумм:

  Sₙ = a₁ + a₂ + … + aₙ,   S = lim Sₙ

Необходимый признак: если ряд сходится, то lim aₙ = 0.
Обратное неверно — гармонический ряд Σ 1/n расходится, хотя 1/n → 0.

Признаки сходимости знакоположительных рядов

Эталонные ряды для сравнения:

  Гармонический  Σ 1/n            — расходится
  Обобщённый     Σ 1/n^p          — сходится при p > 1
  Геометрический Σ q^n            — сходится при |q| < 1, сумма a₁/(1 − q)

При q = 1 признаки Даламбера и Коши ответа не дают — нужен другой признак.

Пример: Σ n!/nⁿ

  По Даламберу:
  aₙ₊₁/aₙ = [(n+1)!/(n+1)ⁿ⁺¹] · [nⁿ/n!] = nⁿ/(n+1)ⁿ = 1/(1 + 1/n)ⁿ
  lim = 1/e ≈ 0,368 < 1  →  ряд сходится

Знакочередующиеся ряды

Признак Лейбница для ряда Σ (−1)ⁿ·aₙ, где aₙ > 0:

  1. Члены убывают: a₁ ≥ a₂ ≥ a₃ ≥ …
  2. lim aₙ = 0

При выполнении обоих условий ряд сходится,
а остаток не превышает первого отброшенного члена: |R| ≤ aₙ₊₁

• Абсолютная сходимость: сходится ряд из модулей Σ|aₙ|. Такой ряд можно переставлять и перемножать как обычную сумму.
• Условная сходимость: ряд сходится, а ряд из модулей — нет. Пример: Σ(−1)ⁿ/n сходится к −ln 2, а Σ1/n расходится.
• По теореме Римана перестановкой членов условно сходящегося ряда можно получить любую наперёд заданную сумму — поэтому переставлять их нельзя.

Степенные ряды

  Σ cₙ·(x − a)ⁿ

Радиус сходимости:
  R = lim |cₙ/cₙ₊₁|   или   R = 1/lim ⁿ√|cₙ|

Интервал сходимости: |x − a| < R
На границах x = a ± R сходимость проверяют отдельной подстановкой.

Ряд Тейлора

  f(x) = f(a) + f'(a)(x−a) + f''(a)(x−a)²/2! + … + f⁽ⁿ⁾(a)(x−a)ⁿ/n! + …

При a = 0 это ряд Маклорена.

Практическая ценность: разложение позволяет считать значения функций и интегралы, которые не берутся в элементарных функциях. Вычислить ∫e^(−x²)dx можно, только разложив подынтегральную функцию в ряд и проинтегрировав почленно.

Ряд Фурье

Периодическая функция с периодом 2π раскладывается по синусам и косинусам:

  f(x) = a₀/2 + Σ (aₙ·cos nx + bₙ·sin nx)

  a₀ = (1/π)·∫[−π..π] f(x) dx
  aₙ = (1/π)·∫[−π..π] f(x)·cos nx dx
  bₙ = (1/π)·∫[−π..π] f(x)·sin nx dx

• Чётная функция раскладывается только по косинусам: все bₙ = 0.
• Нечётная — только по синусам: все aₙ = 0. Проверка чётности сокращает вычисления вдвое.
• В точках разрыва ряд сходится к полусумме односторонних пределов.
• Физический смысл: разложение сигнала на гармоники — основа цифровой обработки сигналов, сжатия звука и изображений.