Степени и корни: свойства и формулы

Свойства степени с натуральным, целым и рациональным показателем, действия с корнями, вынесение множителя, избавление от иррациональности в знаменателе.

Свойства степеней — базовый инструмент, который нужен везде: в пределах, производных, интегралах, расчётах по формулам. Ошибки в них тянут за собой неверный ответ во всей задаче.

Свойства степеней

a^m · a^n = a^(m+n)             произведение — показатели складываются
a^m / a^n = a^(m−n)            частное — вычитаются
(a^m)^n   = a^(m·n)            степень степени — перемножаются
(a·b)^n   = a^n · b^n
(a/b)^n   = a^n / b^n

a^0  = 1        при a ≠ 0
a^(−n) = 1/a^n
a^(1/n) = ⁿ√a
a^(m/n) = ⁿ√(a^m)

Действия с корнями

√(a·b) = √a · √b            при a, b ≥ 0
√(a/b) = √a / √b           при a ≥ 0, b > 0
(√a)²  = a                 при a ≥ 0
√(a²)  = |a|               модуль обязателен!
ⁿ√(ᵐ√a) = ⁿᵐ√a

Про модуль забывают чаще всего: √((−5)²) = 5, а не −5. В задачах с переменной под квадратом это меняет ответ.

Вынесение и внесение множителя

Вынесение:  √50 = √(25·2) = 5√2
Внесение:   3√2 = √(9·2) = √18

Внесение отрицательного множителя:
−2√3 = −√12   (минус остаётся снаружи!)

Избавление от иррациональности в знаменателе

Одночлен:
1/√a = √a / a

Двучлен — умножаем на сопряжённое:
1/(√a + √b) = (√a − √b) / (a − b)

Пример:
3/(2 + √3) = 3·(2 − √3) / ((2+√3)(2−√3)) = 3(2 − √3) / (4 − 3) = 6 − 3√3

Формулы сокращённого умножения

(a ± b)²   = a² ± 2ab + b²
a² − b²    = (a − b)(a + b)
(a ± b)³   = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
a³ ± b³    = (a ± b)(a² ∓ ab + b²)

Разность квадратов — самый рабочий инструмент при раскрытии неопределённостей в пределах и при избавлении от иррациональности.

Типичные ошибки

Стандартные значения

2¹⁰ = 1024        √2 ≈ 1,414
2²⁰ ≈ 10⁶         √3 ≈ 1,732
3⁴  = 81          √5 ≈ 2,236
e   ≈ 2,718       π  ≈ 3,1416