Векторная алгебра и аналитическая геометрия
Операции над векторами, скалярное, векторное и смешанное произведение и их геометрический смысл, уравнения прямой и плоскости, расстояния и углы.
Векторная алгебра — рабочий язык механики, электротехники и компьютерной графики. Три вида произведений закрывают большинство задач: угол, площадь и объём вычисляются одной формулой каждый.
Действия над векторами
a = (aₓ, a_y, a_z) a ± b = (aₓ ± bₓ, a_y ± b_y, a_z ± b_z) λ·a = (λaₓ, λa_y, λa_z) |a| = √(aₓ² + a_y² + a_z²) Вектор по двум точкам: AB = (x_B − x_A, y_B − y_A, z_B − z_A) Орт (единичный вектор): e = a / |a|
Скалярное произведение
(a, b) = aₓbₓ + a_yb_y + a_zb_z = |a|·|b|·cos φ Угол между векторами: cos φ = (a, b) / (|a|·|b|) Перпендикулярность: (a, b) = 0 Проекция a на b: пр_b a = (a, b) / |b| Работа силы: A = (F, s)
Векторное произведение
| i j k |
[a, b] =| aₓ a_y a_z|
| bₓ b_y b_z|
|[a, b]| = |a|·|b|·sin φ = площадь параллелограмма
Площадь треугольника: S = ½·|[AB, AC]|
Результат — вектор, перпендикулярный обоим сомножителям,
направление по правилу правой руки.
Коллинеарность: [a, b] = 0
Скалярное произведение даёт число, векторное — вектор. Путаница между ними — самая частая ошибка: если в ответе задачи на угол получился вектор, значит взято не то произведение.
Смешанное произведение
| aₓ a_y a_z|
(a, b, c) = | bₓ b_y b_z| = ([a, b], c)
| cₓ c_y c_z|
|(a, b, c)| = объём параллелепипеда
Объём пирамиды: V = (1/6)·|(AB, AC, AD)|
Компланарность (лежат в одной плоскости): (a, b, c) = 0
Прямая на плоскости
| Вид уравнения | Запись | Что известно |
|---|---|---|
| Общее | Ax + By + C = 0 | Нормаль n = (A, B) |
| С угловым коэффициентом | y = kx + b | Наклон и точка пересечения с Oy |
| Каноническое | (x − x₀)/m = (y − y₀)/n | Точка и направляющий вектор |
| Через две точки | (x − x₁)/(x₂ − x₁) = (y − y₁)/(y₂ − y₁) | Две точки |
| В отрезках | x/a + y/b = 1 | Точки пересечения с осями |
Расстояние от точки M(x₀, y₀) до прямой Ax + By + C = 0: d = |A·x₀ + B·y₀ + C| / √(A² + B²) Условия для прямых y = k₁x + b₁ и y = k₂x + b₂: параллельны k₁ = k₂ перпендикулярны k₁·k₂ = −1
Плоскость и прямая в пространстве
Плоскость: Общее уравнение: Ax + By + Cz + D = 0, нормаль n = (A, B, C) Через точку и нормаль: A(x−x₀) + B(y−y₀) + C(z−z₀) = 0 Через три точки: смешанное произведение (M₀M, M₀M₁, M₀M₂) = 0 Расстояние от точки до плоскости: d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) Прямая в пространстве: (x − x₀)/m = (y − y₀)/n = (z − z₀)/p, направляющий вектор s = (m, n, p)
| Задача | Формула |
|---|---|
| Угол между плоскостями | cos φ = |(n₁, n₂)| / (|n₁|·|n₂|) |
| Угол между прямыми | cos φ = |(s₁, s₂)| / (|s₁|·|s₂|) |
| Угол между прямой и плоскостью | sin φ = |(s, n)| / (|s|·|n|) |
| Прямая параллельна плоскости | (s, n) = 0 |
| Прямая перпендикулярна плоскости | s ∥ n, то есть [s, n] = 0 |
Обратите внимание на разницу: для угла между прямой и плоскостью берут синус, а не косинус. Причина в том, что угол отсчитывается от прямой до её проекции, а нормаль перпендикулярна плоскости — отсюда сдвиг на 90°.
Кривые второго порядка
Окружность: (x − a)² + (y − b)² = R² Эллипс: x²/a² + y²/b² = 1 Гипербола: x²/a² − y²/b² = 1, асимптоты y = ±(b/a)·x Парабола: y² = 2px, директриса x = −p/2 Приведение к каноническому виду — выделение полного квадрата по каждой переменной с последующим переносом начала координат.
Проверки, экономящие время
- Косинус угла по модулю не превышает единицы — если вышло больше, ошибка в арифметике.
- Объём и площадь берутся по модулю: отрицательный ответ означает лишь порядок обхода вершин.
- Координаты точки, подставленные в уравнение её собственной прямой или плоскости, должны обратить его в ноль.
- Векторное произведение перпендикулярно обоим сомножителям: проверьте скалярным произведением — должно выйти ноль.
Частые вопросы
Зачем нужны три разных произведения?
Каждое отвечает на свой геометрический вопрос: скалярное даёт угол и проекцию, векторное — площадь и перпендикуляр, смешанное — объём и компланарность.
Почему векторное произведение не коммутативно?
Перестановка сомножителей меняет направление результата на противоположное: [a, b] = −[b, a]. Это следует из правила правой руки и свойств определителя при перестановке строк.
Как быстро найти нормаль к плоскости по трём точкам?
Построить два вектора от одной точки к двум другим и взять их векторное произведение — оно перпендикулярно обоим, а значит и всей плоскости.